שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2016 - תת-מרחב אינווריאנטי

תהי $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ טרנספורמציה לינארית המיוצגת בבסיס הסטנדרטי על-ידי המטריצה: $$A = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ מצאו לפחות ארבעה תת-מרחבים $T$-שמורים לא טריוויאליים של $\mathbb{R}^3$.

רמז: מרחבים עצמיים הם תמיד תת-מרחבים שמורים. מצאו את הערכים העצמיים ואת המרחבים העצמיים, וחשבו גם על סכומים של מרחבים עצמיים.

פתרון: **פתרון:** הפולינום האופייני: $$p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = (5 - \lambda) \det\begin{pmatrix} 3 - \lambda & 0 \\ 1 & 3 - \lambda \end{pmatrix} = (5 - \lambda)(3 - \lambda)^2$$ ערכים עצמיים: $\lambda_1 = 5$ (ריבוי אלגברי 1), $\lambda_2 = 3$ (ריבוי אלגברי 2). **מרחב עצמי $\lambda = 5$:** $$A - 5I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ $\ker(A - 5I)$: $-2x_2 = 0$ ו-$x_2 - 2x_3 = 0$, לכן $x_2 = x_3 = 0$, $x_1$ חופשי. $$V_5 = \text{span}\{e_1\} = \text{span}\{(1,0,0)\}$$ **מרחב עצמי $\lambda = 3$:** $$A - 3I = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $\ker(A - 3I)$: $2x_1 = 0$ ו-$x_2 = 0$, לכן $x_1 = x_2 = 0$, $x_3$ חופשי. $$V_3 = \text{span}\{e_3\} = \text{span}\{(0,0,1)\}$$ **מרחב עצמי מוכלל $\lambda = 3$:** $$\ker((A - 3I)^2): (A-3I)^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $\ker((A-3I)^2) = \text{span}\{e_2, e_3\}$, שהוא תת-מרחב $T$-שמור ממימד 2. **ארבעה תת-מרחבים $T$-שמורים לא טריוויאליים:** 1. $V_5 = \text{span}\{(1,0,0)\}$ — מרחב עצמי של $\lambda = 5$ 2. $V_3 = \text{span}\{(0,0,1)\}$ — מרחב עצמי של $\lambda = 3$ 3. $\ker((A-3I)^2) = \text{span}\{(0,1,0), (0,0,1)\}$ — מרחב עצמי מוכלל של $\lambda = 3$ 4. $V_5 \oplus V_3 = \text{span}\{(1,0,0), (0,0,1)\}$ — סכום ישר של מרחבים עצמיים (ניתן גם: $V_5 \oplus \ker((A-3I)^2) = \text{span}\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} = \mathbb{R}^3$, אבל זה טריוויאלי.)