שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2016 - צורה ריבועית

יהי $a \in \mathbb{R}$. נגדיר תבנית ריבועית $q: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ על ידי $$q(x_1, x_2, x_3) = 5x_1^2 + x_2^2 + 2ax_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3 - 2x_2x_3$$ מצאו את כל הערכים של $a$ שעבורם התבנית $q$ היא חיובית לחלוטין.

רמז: כתבו את המטריצה הסימטרית המייצגת של $q$ והשתמשו בקריטריון סילבסטר: כל המינורים המובילים העיקריים חייבים להיות חיוביים.

פתרון: **פתרון:** המטריצה הסימטרית המייצגת של $q$ היא: $$A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2a \end{pmatrix}$$ (המקדם של $x_ix_j$ ($i \neq j$) מתחלק שווה בין הכניסות $(i,j)$ ו-$(j,i)$.) נשתמש בקריטריון סילבסטר: $q$ חיובית לחלוטין אם ורק אם כל המינורים המובילים העיקריים חיוביים. **מינור מוביל ראשון:** $\Delta_1 = 5 > 0$ $\checkmark$ **מינור מוביל שני:** $$\Delta_2 = \det\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 5 - 4 = 1 > 0 \checkmark$$ **מינור מוביל שלישי:** $$\Delta_3 = \det(A) = \det\begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2a \end{pmatrix}$$ נפתח לפי השורה הראשונה: $$= 5(2a - 1) - 2(4a - 1) + (-1)(-2 + 1)$$ $$= 10a - 5 - 8a + 2 + 1 = 2a - 2$$ דרוש $\Delta_3 > 0$: $2a - 2 > 0$, כלומר $a > 1$. **מסקנה:** התבנית הריבועית $q$ חיובית לחלוטין אם ורק אם $a > 1$.