שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2018 - טורים

תהי $f(x) = |\cos x|$ בקטע $[-\pi, \pi]$. א. מצאו את טור פורייה (קוסינוסים) של $f(x)$.

רמז: שימו לב ש-$f(x) = |\cos x|$ היא פונקציה זוגית, ולכן $b_n = 0$ לכל $n$. פרקו את האינטגרל לשלושה קטעים: $[-\pi, -\pi/2]$, $[-\pi/2, \pi/2]$, $[\pi/2, \pi]$, שבהם $|\cos x|$ שווה ל-$-\cos x$ או $\cos x$. השתמשו בנוסחת המכפלה $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$.

פתרון: מכיוון ש-$f(x) = |\cos x|$ היא פונקציה זוגית, $b_n = 0$ לכל $n$. $$f(x) = \begin{cases} -\cos x & -\pi \le x \le -\frac{\pi}{2} \\ \cos x & -\frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{2} \\ -\cos x & \frac{\pi}{2} < x \le \pi \end{cases}$$ חישוב $a_0$: $$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |\cos x|\,dx = \frac{4}{\pi}$$ חישוב $a_n$ עבור $n \ge 1$: $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |\cos x|\cos(nx)\,dx$$ לאחר פיצול לקטעים ושימוש בנוסחת $\cos A \cos B$, ואינטגרציה: $$a_n = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \cdot \frac{(n-1)\sin\bigl((n+1)\frac{\pi}{2}\bigr) + (n+1)\sin\bigl((1-n)\frac{\pi}{2}\bigr)}{n^2 - 1}$$ עבור $n$ אי-זוגי: $a_n = 0$. עבור $n = 2k$ זוגי: $a_n = \frac{(-1)^{k+1} \cdot 4}{\pi(4k^2-1)}$. עבור $n=1$: $a_1 = 0$ (חישוב נפרד). לכן: $$f(x) \sim \frac{2}{\pi} + \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2n\frac{\pi}{2})}{4n^2-1}\cos(2nx)$$