שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2006 - ערכים עצמיים

נתונה המטריצה $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ b & 1 & 9 \\ c & 1 & 1 \end{pmatrix}$, כאשר $b, c$ מספרים ממשיים. קבעו עבור אילו ערכי $b, c$ המטריצה $A$ לכסינה.

רמז: חשבו את הפולינום האופייני. שימו לב שהמטריצה משולשית-בלוקים. בידקו מתי הריבוי הגיאומטרי שווה לריבוי האלגברי עבור כל ערך עצמי.

פתרון: **פתרון:** נחשב את הפולינום האופייני: $$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -2-\lambda & 0 & 0 \\ b & 1-\lambda & 9 \\ c & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}$$ פיתוח לפי שורה ראשונה: $$= (-2-\lambda)\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 9 \\ 1 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (-2-\lambda)[(1-\lambda)^2 - 9]$$ $$= (-2-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda + 1 - 9) = (-2-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda - 8)$$ $$= (-2-\lambda)(\lambda-4)(\lambda+2) = -(\lambda+2)^2(\lambda-4)$$ הערכים העצמיים: $\lambda_1 = -2$ (ריבוי אלגברי 2), $\lambda_2 = 4$ (ריבוי אלגברי 1). המטריצה לכסינה אם"ם הריבוי הגיאומטרי של $\lambda = -2$ שווה ל-2. $$A - (-2)I = A + 2I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ b & 3 & 9 \\ c & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ הריבוי הגיאומטרי של $-2$ הוא $3 - \text{rank}(A+2I)$. נבדוק את הדרגה. שורות 2 ו-3 (ללא העמודה הראשונה): $\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, דטרמיננטה $= 9-9 = 0$. למעשה שורה 2 היא 3 כפול שורה 3 (בעמודות 2,3). אם $b = 3c$: שורה 2 היא $3$ כפול שורה 3, דרגה = 1, ריבוי גיאומטרי $= 3-1 = 2$. ✓ אם $b \neq 3c$: הדרגה היא 2, ריבוי גיאומטרי $= 3-2 = 1 < 2$. ✗ **המטריצה $A$ לכסינה אם ורק אם $b = 3c$.**