שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - הטכניון 2006 - מטריצת ייצוג

יהי $V$ מרחב וקטורי ממימד 2 ותהי $A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{pmatrix}$ המטריצה המייצגת את האופרטור הליניארי $T : V \to V$ בבסיס $e = \{e_1, e_2\}$. תהי $B$ המטריצה המייצגת את $T$ בבסיס $v = \{v_1, v_2\}$ כאשר $v_1 = 2e_1$, $v_2 = 3e_2$. אזי: (א) $B = \begin{pmatrix} 2a_{11}&\frac{2}{3}a_{12}\\2a_{21}&\frac{2}{3}a_{22} \end{pmatrix}$ (ב) $B = \begin{pmatrix} a_{11}&\frac{3}{2}a_{12}\\\frac{2}{3}a_{21}&a_{22} \end{pmatrix}$ (ג) $B = \begin{pmatrix} \frac{3}{2}a_{11}&\frac{2}{3}a_{12}\\\frac{3}{2}a_{21}&\frac{2}{3}a_{22} \end{pmatrix}$ (ד) $B = \begin{pmatrix} a_{11}&\frac{2}{3}a_{12}\\\frac{3}{2}a_{21}&a_{22} \end{pmatrix}$ (ה) $B = \begin{pmatrix} \frac{2}{3}a_{11}&\frac{3}{2}a_{12}\\\frac{2}{3}a_{21}&\frac{3}{2}a_{22} \end{pmatrix}$

רמז: מטריצת המעבר $P$ מ-$v$ ל-$e$ היא $\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$, ו-$B = P^{-1}AP$.

פתרון: **מציאת מטריצת מעבר $P$** מטריצת המעבר $P$ מהבסיס $v$ לבסיס $e$ היא המטריצה שעמודותיה הן קואורדינטות $v_1, v_2$ בבסיס $e$: $$P = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ ולכן: $$P^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$$ **נוסחת שינוי בסיס** $$B = P^{-1}AP$$ **שלב 1:** חישוב $P^{-1}A$: $$P^{-1}A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{a_{11}}{2} & \frac{a_{12}}{2} \\ \frac{a_{21}}{3} & \frac{a_{22}}{3} \end{pmatrix}$$ **שלב 2:** חישוב $(P^{-1}A)\cdot P$: $$B = \begin{pmatrix} \frac{a_{11}}{2} & \frac{a_{12}}{2} \\ \frac{a_{21}}{3} & \frac{a_{22}}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & \frac{3}{2}a_{12} \\ \frac{2}{3}a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$$ **התשובה הנכונה היא (ב):** $$\boxed{B = \begin{pmatrix} a_{11} & \dfrac{3}{2}a_{12} \\[6pt] \dfrac{2}{3}a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}}$$ $\blacksquare$