שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - הטכניון 2006 - מטריצת ייצוג

יהי $V$ מרחב וקטורי ממימד 2 ותהי $A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{pmatrix}$ המטריצה המייצגת את האופרטור הליניארי $T : V \to V$ בבסיס $e = \{e_1, e_2\}$. תהי $B$ המטריצה המייצגת את $T$ בבסיס $v = \{v_1, v_2\}$ כאשר $v_1 = 2e_1$, $v_2 = 3e_2$. אזי: (א) $B = \begin{pmatrix} 2a_{11}&\frac{2}{3}a_{12}\\2a_{21}&\frac{2}{3}a_{22} \end{pmatrix}$ (ב) $B = \begin{pmatrix} a_{11}&\frac{3}{2}a_{12}\\\frac{2}{3}a_{21}&a_{22} \end{pmatrix}$ (ג) $B = \begin{pmatrix} \frac{3}{2}a_{11}&\frac{2}{3}a_{12}\\\frac{3}{2}a_{21}&\frac{2}{3}a_{22} \end{pmatrix}$ (ד) $B = \begin{pmatrix} a_{11}&\frac{2}{3}a_{12}\\\frac{3}{2}a_{21}&a_{22} \end{pmatrix}$ (ה) $B = \begin{pmatrix} \frac{2}{3}a_{11}&\frac{3}{2}a_{12}\\\frac{2}{3}a_{21}&\frac{3}{2}a_{22} \end{pmatrix}$

רמז: מטריצת המעבר $P$ מ-$v$ ל-$e$ היא $\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$, ו-$B = P^{-1}AP$.

פתרון: מטריצת המעבר מ-$v$ ל-$e$: $P = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$. $B = P^{-1}AP = \begin{pmatrix}1/2&0\\0&1/3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix}a_{11}/2&a_{12}/2\\a_{21}/3&a_{22}/3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}&\frac{3a_{12}}{2}\\\frac{2a_{21}}{3}&a_{22}\end{pmatrix}$ התשובה: **(ב)**.