שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2018 - העתקה לינארית

א. יהי $V$ מרחב לינארי מעל שדה $F$, $\dim V = n$. תהיינה $T_1, T_2 : V \to F$ העתקות לינאריות כך ש-$T_1 \neq 0$ ו-$T_2 \neq 0$. סמן $N_1 = \text{Ker } T_1$ ו-$N_2 = \text{Ker } T_2$. הוכיחו ש-$n \geq 2$ ו-$N_1 \neq N_2$ ומצאו את $\dim(N_1 \cap N_2)$. ב. בדוק $T_1, T_2 : \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}$ המוגדרות על-ידי $T_1(p(x)) = p(1)$ ו-$T_2(p(x)) = p(3)$. מצאו בסיס ל-$N_1 \cap N_2$. הערה: שימו לב שיש קשר בין הסעיפים.

רמז: שימו לב שכל $T_i$ הוא פונקציונל לינארי אי-אפסי $V \to F$, לכן $\dim \operatorname{Im} T_i = 1$ ו-$\dim N_i = n-1$. המפתח למציאת $\dim(N_1 \cap N_2)$ הוא להראות ש-$N_1 + N_2 = V$ ואז להפעיל את נוסחת המימד.

פתרון: **סעיף א:** מאחר ש-$T_i : V \to F$ היא **פונקציונל לינארי** אי-אפסי, על-פי **משפט הדרגה-אפס**: $$\dim V = \dim \ker T_i + \dim \operatorname{Im} T_i$$ מכיוון ש-$T_i \neq 0$ אזי $\operatorname{Im} T_i \neq \{0\}$, ומאחר ש-$\operatorname{Im} T_i \subseteq F$ מתקבל $\dim \operatorname{Im} T_i = 1$. לכן: $$\dim N_i = n - 1 \quad (i=1,2)$$ **הוכחת $N_1 \neq N_2$:** נניח בשלילה ש-$N_1 = N_2 =: N$, כאשר $\dim N = n-1$. כל פונקציונל לינארי המתאפס על $N$ הוא כפולה סקלרית של כל פונקציונל אחר המתאפס על $N$ (שכן מרחב הפונקציונלים האי-אפסיים עם גרעין נתון הוא חד-ממדי — כל שניים מהם לינארית תלויים). לכן $T_2 = c\,T_1$ עבור $c \in F$ כלשהו, בסתירה לכך שניתן להרכיב אותם ב-$V$ באופן עצמאי (וכפי שמחייב $T_1 \not\propto T_2$ לפי הנתון). סתירה. $\square$ **הוכחת $n \geq 2$:** מכיוון ש-$N_1 \neq N_2$ ושניהם תת-מרחבים של $V$, אזי $N_1 \cup N_2 \subsetneq V$ — בפרט $V$ אינו שווה ל-$N_1$, לכן $n - 1 < n$. מכיוון ש-$\dim(N_1 \cap N_2)$ חייב להיות אי-שלילי (כפי שמחושב להלן), $n \geq 2$. $\square$ **מציאת $\dim(N_1 \cap N_2)$:** מאחר ש-$N_1 \neq N_2$ וש-$\dim N_1 = n-1$, קיים $v \in N_2 \setminus N_1$. לכן $N_1 + N_2 \supsetneq N_1$, כלומר: $$\dim(N_1 + N_2) \geq n$$ אך $N_1 + N_2 \subseteq V$, ולכן $\dim(N_1 + N_2) = n$, כלומר $N_1 + N_2 = V$. על-פי **נוסחת המימד לסכום מרחבים**: $$\dim(N_1 \cap N_2) = \dim N_1 + \dim N_2 - \dim(N_1 + N_2) = (n-1)+(n-1)-n = \boxed{n-2}$$ בפרט, $n - 2 \geq 0$ מחייב $n \geq 2$. $\blacksquare$ --- **סעיף ב:** כאן $V = \mathbb{R}[x]$ (אינסוף-ממדי), ו-$T_1(p) = p(1)$, $T_2(p) = p(3)$. **תיאור הגרעינים:** $$N_1 = \{p \in \mathbb{R}[x] : p(1) = 0\} = \{(x-1)\,q(x) \mid q \in \mathbb{R}[x]\}$$ $$N_2 = \{p \in \mathbb{R}[x] : p(3) = 0\} = \{(x-3)\,q(x) \mid q \in \mathbb{R}[x]\}$$ **תיאור $N_1 \cap N_2$:** $$N_1 \cap N_2 = \{p \in \mathbb{R}[x] : p(1) = 0 \text{ וגם } p(3) = 0\}$$ פולינום מתאפס ב-$x=1$ וב-$x=3$ אם ורק אם $(x-1)(x-3) \mid p(x)$, כלומר: $$N_1 \cap N_2 = \{(x-1)(x-3)\,q(x) \mid q \in \mathbb{R}[x]\}$$ **בסיס ל-$N_1 \cap N_2$:** הקבוצה $$\mathcal{B} = \{(x-1)(x-3),\; x(x-1)(x-3),\; x^2(x-1)(x-3),\; \ldots\}$$ היא פורשת: כל $p \in N_1 \cap N_2$ נכתב כ-$(x-1)(x-3)q(x)$, ו-$q$ נפרש על-ידי $\{1, x, x^2, \ldots\}$. היא בלתי-תלויה לינארית: $\sum_{k=0}^m c_k \cdot x^k(x-1)(x-3) = 0$ גורר $\sum c_k x^k = 0$ (חלוקה ב-$(x-1)(x-3)$), ומכאן $c_k = 0$ לכל $k$. לכן בסיס ל-$N_1 \cap N_2$ הוא: $$\mathcal{B} = \bigl\{x^k(x-1)(x-3) \;\bigr|\; k = 0, 1, 2, \ldots\bigr\}$$ **קשר לסעיף א:** לכל $n$, ה"הגבלה" לתת-מרחב הפולינומים ממעלה $\leq n-1$ מאפשרת להחיל את תוצאת סעיף א: $\dim(N_1 \cap N_2)|_{\deg \leq n-1} = n-2$, בהתאמה מלאה לנוסחה. $\blacksquare$