שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2017 - אופרטור צמוד

תהי $T: V \to V$ טרנספורמציה לינארית במרחב מכפלה פנימית $V$. נתון ש: $T^* + 4T = 0$. הוכיחו שהטרנספורמציה $I - 2017T$ היא הפיכה.

רמז: מהתנאי $T^* = -4T$ הסיקו ש-$T$ אנטי-הרמיטי (עד כפל בסקלר). הראו שהערכים העצמיים של $T$ דמיוניים טהורים (או אפס), ולכן $1$ אינו ערך עצמי של $2017T$.

פתרון: מהנתון $T^* + 4T = 0$ נובע $T^* = -4T$. **שלב 1: ערכים עצמיים של $T$ הם דמיוניים טהורים או אפס.** יהי $\lambda$ ערך עצמי של $T$ עם וקטור עצמי $v \neq 0$: $Tv = \lambda v$. נחשב: $\langle Tv, v \rangle = \lambda \|v\|^2$. מאידך: $\langle Tv, v \rangle = \langle v, T^*v \rangle = \langle v, -4Tv \rangle = -4\overline{\lambda}\|v\|^2$. לכן $\lambda = -4\overline{\lambda}$. אם $\lambda = a + bi$: $a + bi = -4(a - bi) = -4a + 4bi$. משוואת חלק ממשי: $a = -4a$, כלומר $5a = 0$, לכן $a = 0$. משוואת חלק מדומה: $b = 4b$, כלומר $3b = 0$, לכן $b = 0$. מכאן $\lambda = 0$ בלבד. **שלב 2:** $I - 2017T$ הפיכה אם ורק אם $1$ אינו ערך עצמי של $2017T$, כלומר $\frac{1}{2017}$ אינו ערך עצמי של $T$. מאחר שהערך העצמי היחיד האפשרי של $T$ הוא $0$, בפרט $\frac{1}{2017} \neq 0$ אינו ערך עצמי של $T$. לכן $I - 2017T$ הפיכה. $\blacksquare$