שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2006 - מרחב וקטורי

נסתכל על $\mathbb{C}^3$ כמרחב לינארי מעל $\mathbb{C}$. נגדיר: $W = Sp\{(1,0,i),(1+i,1,0)\}$. הוכיחו כי $B = \{(1,1,1),(1,i,1+2i)\}$ בסיס ל-$W$. מיצאו תת-מרחב $U$ של $\mathbb{C}^3$ כך ש-$W \oplus U = \mathbb{C}^3$.

רמז: כדי להוכיח שזה בסיס, הראו ש-$B$ פורש את $W$ (כלומר כל יוצר של $W$ הוא צירוף של $B$) וש-$B$ בלתי תלוי.

פתרון: **הוכחה ש-$B$ בסיס ל-$W$:** $\dim W \leq 2$ (כי $W$ נפרש על-ידי 2 וקטורים). נבדוק ש-$(1,0,i)$ ו-$(1+i,1,0)$ בלתי תלויים: אם $a(1,0,i) + b(1+i,1,0) = 0$ אז $a+b(1+i)=0$, $b=0$, $ai=0$, לכן $a=b=0$. כלומר $\dim W = 2$. לכן מספיק להוכיח שוקטורי $B$ שייכים ל-$W$ ובלתי תלויים. **שייכות ל-$W$:** צריך לכתוב כל וקטור ב-$B$ כצירוף של יוצרי $W$. $(1,1,1) = a(1,0,i) + b(1+i,1,0)$: - $a + b(1+i) = 1$ - $b = 1$ - $ai = 1 \Rightarrow a = -i$ בדיקה: $-i + 1(1+i) = -i+1+i = 1$ ✓. לכן $(1,1,1) \in W$. $(1,i,1+2i) = a(1,0,i) + b(1+i,1,0)$: - $a + b(1+i) = 1$ - $b = i$ - $ai = 1+2i \Rightarrow a = \frac{1+2i}{i} = \frac{(1+2i)(-i)}{1} = -i+2 = 2-i$ בדיקה: $2-i + i(1+i) = 2-i+i+i^2 = 2-1 = 1$ ✓. לכן $(1,i,1+2i) \in W$. **אי-תלות:** אם $\alpha(1,1,1) + \beta(1,i,1+2i) = 0$: - $\alpha + \beta = 0$ - $\alpha + i\beta = 0$ מחיסור: $(i-1)\beta = 0 \Rightarrow \beta = 0 \Rightarrow \alpha = 0$. לכן $B$ בסיס ל-$W$. $\blacksquare$ **מציאת $U$:** $\dim W = 2$, לכן צריך $\dim U = 1$. ניקח $U = Sp\{(0,0,1)\}$. נבדוק $W \cap U = \{0\}$: אם $(0,0,c) = a(1,0,i) + b(1+i,1,0)$ אז $b=0$ ו-$a+b(1+i)=0$ נותן $a=0$, לכן $c=0$. נבדוק שסכום $W + U = \mathbb{C}^3$: $\dim(W+U) = \dim W + \dim U = 2+1 = 3 = \dim \mathbb{C}^3$. לכן $U = Sp\{(0,0,1)\}$ ו-$W \oplus U = \mathbb{C}^3$.