שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - אוניברסיטת בר-אילן 2024 - מטריצות

סימונים: $E_{ij}$ הוא המטריצה בה במקום $(i,j)$ יש 1 ובכל שאר המקומות 0. תהיינה $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$. א. i. לכל $1 \leq k \leq n$ הביעו את $C_k(AE_{ij})$ בעזרת $A, i, j$. ii. לכל $1 \leq k \leq n$ הביעו את $R_k(E_{ij}A)$ בעזרת $A, i, j$. ב. תהי $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ המתחלפת עם כל $B \in \mathbb{R}^{n \times n}$. הוכיחו כי $A$ אלכסונית. ג. תהי $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ המתחלפת עם כל $B \in \mathbb{R}^{n \times n}$. הוכיחו כי $A$ סקלרית. ד. תהי $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. הוכיחו: $A$ מתחלפת עם כל $B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ $\iff$ $A$ סקלרית. (ניתן להשתמש בסעיפים קודמים גם אם לא הצלחתם אותם)

רמז: חשבו $AE_{ij}$ ו-$E_{ij}A$ במפורש. השוו כניסות ספציפיות כדי להסיק שאיברים מחוץ לאלכסון אפסים, ואז שהאלכסון קבוע.

פתרון: **א.i.** $(AE_{ij})_{kl} = \sum_m A_{km}(E_{ij})_{ml} = A_{ki} \cdot \delta_{jl}$. לכן עמודה $l$ של $AE_{ij}$ היא עמודה $i$ של $A$ אם $l = j$, ואפס אחרת. $C_k(AE_{ij})$: השורה ה-$k$ של $AE_{ij}$ — הרכיב ב-$(k,j)$ הוא $A_{ki}$ ובשאר אפסים. $C_j(AE_{ij}) = C_i(A)$ (עמודה $i$ של $A$), ושאר העמודות אפס. **א.ii.** $(E_{ij}A)_{kl} = \sum_m (E_{ij})_{km} A_{ml} = \delta_{ik} A_{jl}$. שורה $k$: אם $k = i$ אז שורה $j$ של $A$, אחרת אפסים. $R_i(E_{ij}A) = R_j(A)$, שאר השורות אפס. **ב.** $A$ מתחלפת עם כל $B$. בפרט $AE_{ij} = E_{ij}A$ לכל $i,j$. מסעיף א': $AE_{ij}$ — עמודה $j$ היא $C_i(A)$, שאר עמודות אפס. $E_{ij}A$ — שורה $i$ היא $R_j(A)$, שאר שורות אפס. עבור $i \neq j$: $(AE_{ij})_{ij} = A_{ii}$ ו-$(E_{ij}A)_{ij} = A_{jj}$... בעצם, $(AE_{ij})_{kl} = A_{ki}\delta_{jl}$ ו-$(E_{ij}A)_{kl} = \delta_{ik}A_{jl}$. השוואה עבור $k \neq i$ ו-$l = j$: $A_{ki} \cdot 1 = 0$ (כי $k \neq i$ אז $\delta_{ik} = 0$). לכן $A_{ki} = 0$ לכל $k \neq i$. זה לכל $i$, לכן $A$ **אלכסונית**. **ג.** מסעיף ב' $A$ אלכסונית: $A = \operatorname{diag}(a_1, \ldots, a_n)$. השוואה עבור $k = i, l = j$ ($i \neq j$): $(AE_{ij})_{ij} = A_{ii}$ ו-$(E_{ij}A)_{ij} = A_{jj}$. לכן $A_{ii} = A_{jj}$ לכל $i \neq j$. לכן כל האיברים באלכסון שווים, כלומר $A = \lambda I$ — **סקלרית**. **ד.** $\Leftarrow$: $A = \lambda I$ מתחלפת עם כל $B$: $\lambda IB = \lambda B = B\lambda I$. $\checkmark$ $\Rightarrow$: מסעיף ג'. $\blacksquare$