שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - הטכניון 2010 - מערכת משוואות

מצא $a, b \in \mathbb{C}$ כך שלמערכת המשוואות הליניאריות $$\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1+i & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot z = \begin{pmatrix} 1 \\ b \\ 0 \end{pmatrix}$$ יש אינסוף פתרונות $z \in \mathbb{C}^3$.

רמז: למערכת אינסוף פתרונות: הדטרמיננטה של המטריצה חייבת להיות אפס, ועוד צריך עקביות. חשב את $\det(A)$ בפיתוח לפי שורה ראשונה.

פתרון: נסמן את מטריצת המקדמים $A=\begin{pmatrix}a&1&0\\0&1&2\\1+i&0&1\end{pmatrix}$. **תנאי לאינסוף פתרונות:** דרוש $\text{rank}(A)<3$ ועקביות של המערכת המורחבת. **חישוב $\det(A)$** (פיתוח לפי שורה ראשונה): $$\det(A)=a\cdot(1\cdot1-2\cdot0)-1\cdot(0\cdot1-2\cdot(1+i))+0=a+2(1+i)=a+2+2i.$$ עבור $\det(A)=0$: $\boxed{a=-2-2i}$. **בדיקת עקביות:** עם $a=-2-2i$ נבצע דירוג מטריצה מורחבת: $$\begin{pmatrix}-2-2i&1&0&1\\0&1&2&b\\1+i&0&1&0\end{pmatrix}$$ נבצע $R_1\to R_1+2R_3$ (שים לב: $-2-2i+2(1+i)=0$): $$R_1\text{ חדש}=(0,\,1,\,2,\,1).$$ עכשיו $R_1=(0,1,2,1)$ ו-$R_2=(0,1,2,b)$. $R_2\to R_2-R_1$: $$(0,\,0,\,0,\,b-1).$$ לעקביות: $b-1=0$, כלומר $\boxed{b=1}$. **סיכום:** למערכת אינסוף פתרונות דרוש $a=-2-2i$ ו-$b=1$.