שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2022 - פולינום אופייני

תהי $A \in M_{3 \times 3}^{\mathbb{C}}$ כך שהפולינום האופייני שלה הוא $p_A(\lambda) = \lambda^3 + 9\lambda$. מצאו את המקדמים של הפולינום האופייני של $A^2$. מצאו את המקדמים של הפולינום המינימלי של $A^2$. נמקו!

רמז: מצאו את הערכים העצמיים של $A$ מהפולינום האופייני, העלו אותם בריבוע לקבלת הערכים העצמיים של $A^2$. $A$ לכסינה (ערכים עצמיים שונים), לכן גם $A^2$, ולכן הפולינום המינימלי של $A^2$ הוא מכפלת גורמים לינאריים ללא חזרות.

פתרון: **הפולינום האופייני:** $p_A(\lambda) = \lambda^3 + 9\lambda = \lambda(\lambda^2 + 9) = \lambda(\lambda - 3i)(\lambda + 3i)$. הערכים העצמיים של $A$: $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = 3i$, $\lambda_3 = -3i$. הערכים העצמיים של $A^2$: $\lambda_1^2 = 0$, $\lambda_2^2 = -9$, $\lambda_3^2 = -9$. **הפולינום האופייני של $A^2$:** $$p_{A^2}(\lambda) = (\lambda - 0)(\lambda - (-9))(\lambda - (-9)) = \lambda(\lambda + 9)^2 = \lambda^3 + 18\lambda^2 + 81\lambda$$ המקדמים: $1, 18, 81, 0$ (מהמעלה הגבוהה לנמוכה). **הפולינום המינימלי של $A^2$:** מכיוון שכל הערכים העצמיים של $A$ שונים זה מזה ($0, 3i, -3i$), $A$ לכסינה, ולכן הפולינום המינימלי של $A$ שווה לאופייני: $m_A(\lambda) = \lambda^3 + 9\lambda$. $A$ לכסינה $\Rightarrow$ $A^2$ לכסינה. הערכים העצמיים של $A^2$ הם $0$ ו-$-9$ (עם ריבוי 2). מכיוון ש-$A^2$ לכסינה, הפולינום המינימלי של $A^2$ הוא מכפלת הגורמים הלינאריים עבור כל ערך עצמי **שונה** (כל אחד בחזקה 1): $$m_{A^2}(\lambda) = \lambda(\lambda + 9) = \lambda^2 + 9\lambda$$ המקדמים: $1, 9, 0$. $\blacksquare$