שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2023 - אינטגרלים לא אמיתיים

קבעו לגבי האינטגרל הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר: $$\int_0^{\infty} \frac{e^x \sin(e^x)}{\sqrt{x}}\,dx.$$

רמז: בצעו את ההצבה $u = e^x$ כדי להפוך את האינטגרל ל-$\int_1^\infty \frac{\sin u}{\sqrt{\ln u}}\,du$. בדקו התכנסות בעזרת מבחן דיריכלה.

פתרון: **ניתוח ב-$[0,1]$:** ליד $x=0$: $\frac{e^x|\sin(e^x)|}{\sqrt{x}} \leq \frac{C}{\sqrt{x}}$ (חסומה על ידי פונקציה אינטגרבילית), לכן $\int_0^1$ מתכנס בהחלט. **ניתוח ב-$[1,\infty)$:** ההצבה $u = e^x$ (כלומר $x = \ln u$, $dx = du/u$) נותנת: $$\int_e^\infty \frac{u\sin u}{\sqrt{\ln u}} \cdot \frac{du}{u} = \int_e^\infty \frac{\sin u}{\sqrt{\ln u}}\,du.$$ **התכנסות בתנאי:** $\frac{1}{\sqrt{\ln u}}$ חיובית, מונוטונית יורדת לאפס. לפי מבחן דיריכלה, $\int_e^\infty \frac{\sin u}{\sqrt{\ln u}}\,du$ מתכנס. **אי-התכנסות בהחלט:** $|\sin u| \geq \sin^2 u = \frac{1-\cos 2u}{2}$, לכן: $$\int_e^\infty \frac{|\sin u|}{\sqrt{\ln u}}\,du \geq \int_e^\infty \frac{1}{2\sqrt{\ln u}}\,du.$$ בהצבה $t = \ln u$: $\int_1^\infty \frac{e^t}{2\sqrt{t}}\,dt = +\infty$. לכן האינטגרל מתבדר בהחלט. **מסקנה:** האינטגרל **מתכנס בתנאי**. $\blacksquare$