שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2006 - פולינום אופייני

2. תהי $A \in M_{n \times n}^{\mathbb{C}}$ מטריצה שאינה ניתנת ללכסון. הוכח שקיים פולינום $0 \neq Q(t) \in \mathbb{C}_n[t]$ (כלומר פולינום $\neq 0$ וממעלה קטנה מ-$n$) כך ש-$[Q(A)]^2 = 0$.

רמז: השתמשו בכך ש-$A$ אינה לכסינה, ולכן לפולינום האופייני שלה יש שורש בריבוי אלגברי $\geq 2$. בחרו $Q(t)$ שמפרק את $P_A(t)$ בצורה מתאימה.

פתרון: $A$ אינה ניתנת ללכסון, ובפרט הפולינום האופייני שלה אינו מתפרק לגורמים לינאריים שונים. מעל $\mathbb{C}$, הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים: $$P_A(t) = (t - \lambda_1)^{\alpha_1}(t - \lambda_2)^{\alpha_2} \cdots (t - \lambda_k)^{\alpha_k}$$ כאשר $\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_k = n$. מכיוון ש-$A$ אינה לכסינה, חייב להיות לפחות שורש אחד בריבוי $\alpha_1 \geq 2$ (ב.ה.כ). נבחר: $$Q(t) = (t - \lambda_1)^{\alpha_1 - 1}(t - \lambda_2)^{\alpha_2} \cdots (t - \lambda_k)^{\alpha_k}$$ אז $\deg(Q) = n - 1 < n$, ו-$Q \neq 0$. נחשב: $$[Q(A)]^2 = (A - \lambda_1 I)^{\alpha_1 - 1}(A - \lambda_2 I)^{\alpha_2} \cdots (A - \lambda_k I)^{\alpha_k} \cdot (A - \lambda_1 I)^{\alpha_1 - 1}(A - \lambda_2 I)^{\alpha_2} \cdots (A - \lambda_k I)^{\alpha_k}$$ מכיוון שפולינומים ב-$A$ מתחלפים: $$= (A - \lambda_1 I)^{2(\alpha_1 - 1)}(A - \lambda_2 I)^{2\alpha_2} \cdots (A - \lambda_k I)^{2\alpha_k}$$ מכיוון ש-$2(\alpha_1 - 1) + 2\alpha_2 + \cdots + 2\alpha_k = 2n - 2 \geq n$ (כי $n \geq 2$), ובפרט $2(\alpha_1 - 1) \geq \alpha_1$ (כי $\alpha_1 \geq 2$) ו-$2\alpha_j \geq \alpha_j$ לכל $j$, נובע: $$[Q(A)]^2 = (A - \lambda_1 I)^{\alpha_1} \cdots (A - \lambda_k I)^{\alpha_k} \cdot (A - \lambda_1 I)^{\alpha_1 - 2}(A - \lambda_2 I)^{\alpha_2} \cdots (A - \lambda_k I)^{\alpha_k}$$ $$= P_A(A) \cdot (A - \lambda_1 I)^{\alpha_1 - 2}(A - \lambda_2 I)^{\alpha_2} \cdots (A - \lambda_k I)^{\alpha_k} = 0$$ (לפי משפט קיילי-המילטון $P_A(A) = 0$.) $\blacksquare$