קורס: אלגברה לינארית 2
אוניברסיטה: האוניברסיטה הפתוחה
שנה: 2006
סמסטר: א
נושאים: פולינום אופייני, קיילי-המילטון, לכסון, הוכחה
רמת קושי: קשה
2. תהי $A \in M_{n \times n}^{\mathbb{C}}$ מטריצה שאינה ניתנת ללכסון. הוכח שקיים פולינום $0 \neq Q(t) \in \mathbb{C}_n[t]$ (כלומר פולינום $\neq 0$ וממעלה קטנה מ-$n$) כך ש-$[Q(A)]^2 = 0$.
רמז: השתמשו בכך ש-$A$ אינה לכסינה, ולכן לפולינום האופייני שלה יש שורש בריבוי אלגברי $\geq 2$. בחרו $Q(t)$ שמפרק את $P_A(t)$ בצורה מתאימה.
פתרון: $A$ אינה ניתנת ללכסון, ובפרט הפולינום האופייני שלה אינו מתפרק לגורמים לינאריים שונים.
מעל $\mathbb{C}$, הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים:
$$P_A(t) = (t - \lambda_1)^{\alpha_1}(t - \lambda_2)^{\alpha_2} \cdots (t - \lambda_k)^{\alpha_k}$$
כאשר $\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_k = n$.
מכיוון ש-$A$ אינה לכסינה, חייב להיות לפחות שורש אחד בריבוי $\alpha_1 \geq 2$ (ב.ה.כ).
נבחר:
$$Q(t) = (t - \lambda_1)^{\alpha_1 - 1}(t - \lambda_2)^{\alpha_2} \cdots (t - \lambda_k)^{\alpha_k}$$
אז $\deg(Q) = n - 1 < n$, ו-$Q \neq 0$.
נחשב:
$$[Q(A)]^2 = (A - \lambda_1 I)^{\alpha_1 - 1}(A - \lambda_2 I)^{\alpha_2} \cdots (A - \lambda_k I)^{\alpha_k} \cdot (A - \lambda_1 I)^{\alpha_1 - 1}(A - \lambda_2 I)^{\alpha_2} \cdots (A - \lambda_k I)^{\alpha_k}$$
מכיוון שפולינומים ב-$A$ מתחלפים:
$$= (A - \lambda_1 I)^{2(\alpha_1 - 1)}(A - \lambda_2 I)^{2\alpha_2} \cdots (A - \lambda_k I)^{2\alpha_k}$$
מכיוון ש-$2(\alpha_1 - 1) + 2\alpha_2 + \cdots + 2\alpha_k = 2n - 2 \geq n$ (כי $n \geq 2$), ובפרט $2(\alpha_1 - 1) \geq \alpha_1$ (כי $\alpha_1 \geq 2$) ו-$2\alpha_j \geq \alpha_j$ לכל $j$, נובע:
$$[Q(A)]^2 = (A - \lambda_1 I)^{\alpha_1} \cdots (A - \lambda_k I)^{\alpha_k} \cdot (A - \lambda_1 I)^{\alpha_1 - 2}(A - \lambda_2 I)^{\alpha_2} \cdots (A - \lambda_k I)^{\alpha_k}$$
$$= P_A(A) \cdot (A - \lambda_1 I)^{\alpha_1 - 2}(A - \lambda_2 I)^{\alpha_2} \cdots (A - \lambda_k I)^{\alpha_k} = 0$$
(לפי משפט קיילי-המילטון $P_A(A) = 0$.) $\blacksquare$
2. תהי A ∈ M n × n C מטריצה שאינה ניתנת ללכסון. הוכח שקיים פולינום 0 = Q ( t ) ∈ C n [ t ] (כלומר פולינום = 0 וממעלה קטנה מ- n ) כך ש- [ Q ( A ) ] 2 = 0 .
האוניברסיטה הפתוחה 95 2006 סמסטר א
פולינום אופייני קיילי-המילטון לכסון הוכחה
השתמשו בכך ש- A אינה לכסינה, ולכן לפולינום האופייני שלה יש שורש בריבוי אלגברי ≥ 2 . בחרו Q ( t ) שמפרק את P A ( t ) בצורה מתאימה.
A אינה ניתנת ללכסון, ובפרט הפולינום האופייני שלה אינו מתפרק לגורמים לינאריים שונים. מעל C , הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים: P A ( t ) = ( t − λ 1 ) α 1 ( t − λ 2 ) α 2 ⋯ ( t − λ k ) α k כאשר α 1 + α 2 + ⋯ + α k = n . מכיוון ש- A אינה לכסינה, חייב להיות לפחות שורש אחד בריבוי α 1 ≥ 2 (ב.ה.כ). נבחר: Q ( t ) = ( t − λ 1 ) α 1 − 1 ( t − λ 2 ) α 2 ⋯ ( t − λ k ) α k אז deg ( Q ) = n − 1 < n , ו- Q = 0 . נחשב: [ Q ( A ) ] 2 = ( A − λ 1 I ) α 1 − 1 ( A − λ 2 I ) α 2 ⋯ ( A − λ k I ) α k ⋅ ( A − λ 1 I ) α 1 − 1 ( A − λ 2 I ) α 2 ⋯ ( A − λ k I ) α k מכיוון שפולינומים ב- A מתחלפים: = ( A − λ 1 I ) 2 ( α 1 − 1 ) ( A − λ 2 I ) 2 α 2 ⋯ ( A − λ k I ) 2 α k מכיוון ש- 2 ( α 1 − 1 ) + 2 α 2 + ⋯ + 2 α k = 2 n − 2 ≥ n (כי n ≥ 2 ), ובפרט 2 ( α 1 − 1 ) ≥ α 1 (כי α 1 ≥ 2 ) ו- 2 α j ≥ α j לכל j , נובע: [ Q ( A ) ] 2 = ( A − λ 1 I ) α 1 ⋯ ( A − λ k I ) α k ⋅ ( A − λ 1 I ) α 1 − 2 ( A − λ 2 I ) α 2 ⋯ ( A − λ k I ) α k = P A ( A ) ⋅ ( A − λ 1 I ) α 1 − 2 ( A − λ 2 I ) α 2 ⋯ ( A − λ k I ) α k = 0 (לפי משפט קיילי-המילטון P A ( A ) = 0 .) ■