שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - אופרטור נורמלי

יהי $V$ מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי ו-$T: V \to V$ אופרטור נורמלי. הוכח שאם $\lambda$ ערך עצמי של $T$, אז $\overline{\lambda}$ ערך עצמי של $T^*$.

רמז: השתמש בהגדרה של אופרטור נורמלי ובתכונות של הצמוד.

פתרון: יהי $\lambda$ ערך עצמי של $T$ עם וקטור עצמי $v \neq 0$, כלומר $Tv = \lambda v$. מכיוון ש-$T$ נורמלי, מתקיים $TT^* = T^*T$. נחשב $\|T^*v - \overline{\lambda}v\|^2$: $$\|T^*v - \overline{\lambda}v\|^2 = \langle T^*v - \overline{\lambda}v, T^*v - \overline{\lambda}v \rangle$$ $$= \langle T^*v, T^*v \rangle - \overline{\lambda}\langle T^*v, v \rangle - \lambda\langle v, T^*v \rangle + |\lambda|^2\langle v, v \rangle$$ $$= \|T^*v\|^2 - \overline{\lambda}\langle T^*v, v \rangle - \lambda\overline{\langle T^*v, v \rangle} + |\lambda|^2\|v\|^2$$ מכיוון ש-$\langle T^*v, v \rangle = \langle v, Tv \rangle = \langle v, \lambda v \rangle = \lambda\|v\|^2$: $$\|T^*v - \overline{\lambda}v\|^2 = \|T^*v\|^2 - \overline{\lambda} \cdot \lambda\|v\|^2 - \lambda \cdot \overline{\lambda}\|v\|^2 + |\lambda|^2\|v\|^2$$ $$= \|T^*v\|^2 - |\lambda|^2\|v\|^2$$ מצד שני, מכיוון ש-$T$ נורמלי: $$\|Tv\|^2 = \langle Tv, Tv \rangle = \langle v, T^*Tv \rangle = \langle v, TT^*v \rangle = \langle T^*v, T^*v \rangle = \|T^*v\|^2$$ מכיוון ש-$Tv = \lambda v$: $$\|T^*v\|^2 = \|Tv\|^2 = \|\lambda v\|^2 = |\lambda|^2\|v\|^2$$ לכן: $$\|T^*v - \overline{\lambda}v\|^2 = |\lambda|^2\|v\|^2 - |\lambda|^2\|v\|^2 = 0$$ זה אומר ש-$T^*v = \overline{\lambda}v$, כלומר $\overline{\lambda}$ ערך עצמי של $T^*$ עם וקטור עצמי $v$. $\blacksquare$