שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2020 - אינטגרלים

נגדיר $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x\cos x}{\ln|x/3|}, & 0 < |x| < 3 \\ a, & x=0 \end{cases}$ כאשר $a$ מספר ממשי. הראו כי $f$ אינטגרבילית בקטע $[-e, e]$ וחשבו את $\displaystyle\int_{-e}^{e} f(x)\,dx$.

רמז: בדקו את הסימטריה של $f$: האם $f(-x) = -f(x)$? שימו לב ש-$\ln|-x/3| = \ln|x/3|$.

פתרון: **אינטגרביליות:** כאשר $x \to 0$, $\ln|x/3| \to -\infty$, לכן $f(x) \to 0$. הפונקציה רציפה על $[-e,0)\cup(0,e]$ וחסומה על $[-e,e]$ (ויש לה לכל היותר אי-רציפות ב-$x=0$). לפיכך $f$ אינטגרבילית על $[-e,e]$ לכל ערך $a$. **חישוב האינטגרל:** נבדוק סימטריה: $$f(-x) = \frac{(-x)\cos(-x)}{\ln|-x/3|} = \frac{-x\cos x}{\ln|x/3|} = -f(x).$$ כלומר, $f$ היא פונקציה **אי-זוגית**. מכיוון שהאינטגרל הוא על קטע סימטרי $[-e,e]$: $$\int_{-e}^{e} f(x)\,dx = 0.$$