שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2006 - פולינום אופייני

נתונות $A$ ו-$B$ מטריצות ממשיות סימטריות אשר הפולינום האופייני שלהן שווה ל-$P_A(t) = t^3 - t$ ו-$P_B(t) = t^3 - 3t^2 + 2t$ בהתאמה. מצא את כל המספרים השלמים $k \geq 1$ כך ש-$A^k$ חופפת ל-$B^k$.

רמז: פרקו את הפולינומים האופייניים כדי למצוא ערכים עצמיים. מאחר ש-$A$ ו-$B$ סימטריות, הן לכסינות אורתוגונלית. חשבו את $A^k$ ו-$B^k$ דרך הלכסון.

פתרון: נמצא את הערכים העצמיים: - $P_A(t) = t^3 - t = t(t-1)(t+1)$, לכן ע"ע של $A$: $0, 1, -1$. - $P_B(t) = t^3 - 3t^2 + 2t = t(t-1)(t-2)$, לכן ע"ע של $B$: $0, 1, 2$. מאחר ש-$A$ ו-$B$ סימטריות ממשיות, הן לכסינות. קיימות מטריצות אורתוגונליות $P, Q$ כך ש: - $P^t A P = \text{diag}(0, 1, -1)$ - $Q^t B Q = \text{diag}(0, 1, 2)$ לכן לכל $k \geq 1$: - $A^k$ חופפת ל-$\text{diag}(0, 1, (-1)^k)$ - $B^k$ חופפת ל-$\text{diag}(0, 1, 2^k)$ $A^k$ חופפת ל-$B^k$ אם ורק אם יש להן אותם ערכים עצמיים (עם אותם ריבויים), כלומר $\{0, 1, (-1)^k\} = \{0, 1, 2^k\}$ (כקבוצות מרובות). מאחר ש-$0$ ו-$1$ מופיעים בשני הצדדים, צריך $(-1)^k = 2^k$. - אם $k$ זוגי: $(-1)^k = 1$ ו-$2^k \geq 4$, לא שווים. - אם $k$ אי-זוגי: $(-1)^k = -1$ ו-$2^k \geq 2$, לא שווים. לכן **לא קיים** $k \geq 1$ שלם כך ש-$A^k$ חופפת ל-$B^k$.