שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - העתקה לינארית

תהי $T: \mathbb{R}_2[x] \to M_2(\mathbb{R})$ המוגדרת על ידי $$T(a + bx + cx^2) = \begin{pmatrix} a + b & c \\ 0 & a - b \end{pmatrix}.$$ מצאו את $\ker(T)$ ואת $\operatorname{Im}(T)$, וקבעו אם $T$ חד-חד-ערכית ואם $T$ על.

רמז: לגרעין: פתרו את המערכת $a+b=0, c=0, a-b=0$. לתמונה: בדקו אילו מטריצות ב-$M_2$ מתקבלות — שימו לב לכניסה $A_{21}$.

פתרון: **מציאת $\ker(T)$:** $T(a + bx + cx^2) = 0$ אם ורק אם: $$a + b = 0, \quad c = 0, \quad a - b = 0.$$ מ-$a + b = 0$ ו-$a - b = 0$ נובע $a = 0, b = 0$. גם $c = 0$. לכן $\ker(T) = \{0\}$. $T$ **חד-חד-ערכית** כי הגרעין טריוויאלי. **מציאת $\operatorname{Im}(T)$:** על פי משפט הדרגה-אפס: $\dim(\operatorname{Im}(T)) = \dim(\mathbb{R}_2[x]) - \dim(\ker(T)) = 3 - 0 = 3$. נמצא את התמונות של איברי הבסיס הסטנדרטי $\{1, x, x^2\}$: $$T(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad T(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad T(x^2) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ שלוש המטריצות הללו בלתי תלויות לינארית, לכן הן מהוות בסיס ל-$\operatorname{Im}(T)$. כל מטריצה בתמונה היא מהצורה $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ 0 & \gamma \end{pmatrix}$, ואכן: $$\operatorname{Im}(T) = \left\{\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ 0 & \gamma \end{pmatrix} \,\middle|\, \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}\right\}$$ זהו מרחב המטריצות המשולשיות העליונות מסדר $2$, ממימד $3$. $T$ **אינה על** כי $\dim(\operatorname{Im}(T)) = 3 < 4 = \dim(M_2(\mathbb{R}))$. $\blacksquare$