שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2005 - אופרטורים

יהי $M_{n \times n}^{\mathbb{R}}$ עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית, ותהי $A \in M_{n \times n}^{\mathbb{R}}$. נגדיר טרנספורמציה לינארית $S_A : M_{n \times n}^{\mathbb{R}} \to M_{n \times n}^{\mathbb{R}}$ על ידי $S_A(X) = X \cdot A$ לכל $X \in M_{n \times n}^{\mathbb{R}}$. בדוק ש-$(S_A)^m = S_{A^m}$ לכל $m \geq 1$ שלם.

רמז: הוכח באינדוקציה על $m$. בצעד האינדוקציה, הפעל $S_A$ על $(S_A)^m(X)$ והשתמש בהנחת האינדוקציה.

פתרון: נוכיח באינדוקציה על $m$. **בסיס:** עבור $m=1$: $(S_A)^1 = S_A = S_{A^1}$. נכון. **צעד:** נניח $(S_A)^m = S_{A^m}$ ונוכיח עבור $m+1$. לכל $X \in M_{n \times n}^{\mathbb{R}}$: $$(S_A)^{m+1}(X) = S_A\bigl((S_A)^m(X)\bigr) = S_A\bigl(S_{A^m}(X)\bigr) = S_A(X \cdot A^m) = (X \cdot A^m) \cdot A = X \cdot A^{m+1} = S_{A^{m+1}}(X)$$ לכן $(S_A)^{m+1} = S_{A^{m+1}}$. $\blacksquare$