שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2024 - ערכים עצמיים

תהי $A$ מטריצה ממשית סינגולרית מסדר $4 \times 4$. ידוע שמתקיים $\rho(A+2I)=2$ וגם $\det(A-2I)=0$. מצאו את $\operatorname{trace}(A^{10}) + \det(A^{10})$. נמקו!

רמז: הערכים העצמיים של $A^{10}$ הם $\lambda_i^{10}$ עבור כל ערך עצמי $\lambda_i$ של $A$. העקבה היא סכום הע"ע והדטרמיננטה היא מכפלתם.

פתרון: מהסעיף הקודם, הערכים העצמיים של $A$ (עם ריבויים) הם: $0, 2, -2, -2$. הערכים העצמיים של $A^{10}$ הם: $0^{10}, 2^{10}, (-2)^{10}, (-2)^{10} = 0, 1024, 1024, 1024$. $$\operatorname{trace}(A^{10}) = 0 + 1024 + 1024 + 1024 = 3072$$ $$\det(A^{10}) = 0 \cdot 1024 \cdot 1024 \cdot 1024 = 0$$ (כי $0$ ערך עצמי של $A$, ולכן $0^{10} = 0$ ערך עצמי של $A^{10}$, והדטרמיננטה היא מכפלת הערכים העצמיים.) $$\operatorname{trace}(A^{10}) + \det(A^{10}) = 3072 + 0 = \boxed{3072}$$