שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2022 - פונקציות של שני משתנים

הפונקציה $f(x,y)$ מוגדרת על-ידי: $$f(x,y) = \begin{cases} (x^2+y^2)\ln(x^2+y^2) & (x,y)\neq(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}$$ (א) האם $f(x,y)$ רציפה בנקודה $(0,0)$? (ב) האם $f(x,y)$ דיפרנציאבילית בנקודה $(0,0)$? (ג) האם $(0,0)$ נקודת קיצון של $f(x,y)$?

רמז: לרציפות: עברו לקואורדינטות פולאריות $r^2 = x^2+y^2$ ובדקו $\lim_{r\to 0} r^2\ln r^2$. לדיפרנציאביליות: חשבו $f_x(0,0)$ ובדקו את ההגדרה. לקיצון: בדקו את סימן $f$ בסביבת $(0,0)$.

פתרון: **(א) כן, $f$ רציפה ב-$(0,0)$:** נסמן $r^2 = x^2+y^2 \to 0$: $$\lim_{r\to 0^+} r^2\ln r^2 = 2\lim_{r\to 0^+} r^2\ln r = 0$$ (כי $\lim_{r\to 0^+} r^2|\ln r| = 0$). לכן $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$. ✓ **(ב) כן, $f$ דיפרנציאבילית ב-$(0,0)$:** $f_x(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{h^2\ln h^2}{h} = 2\lim_{h\to 0} h\ln|h| = 0$, ובדומה $f_y(0,0)=0$. נבדוק: $\frac{f(h,k)-0-0\cdot h - 0\cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{(h^2+k^2)\ln(h^2+k^2)}{\sqrt{h^2+k^2}} = \sqrt{h^2+k^2}\cdot\ln(h^2+k^2) = 2r\ln r \to 0$. לכן $f$ דיפרנציאבילית ב-$(0,0)$. ✓ **(ג) כן, $(0,0)$ נקודת מקסימום מקומי:** עבור $0 < x^2+y^2 < 1$: $\ln(x^2+y^2) < 0$, לכן $f(x,y) < 0 = f(0,0)$. לכן $f(0,0) = 0 > f(x,y)$ בכל סביבה מנוקבת של $(0,0)$. $(0,0)$ היא **נקודת מקסימום מקומי**. $\blacksquare$