שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2015

הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה: אם

U_{1}, U_{2}

ו-

U_{3}

הם תת-מרחבים של מרחב מכפלה פנימית

V

, ומתקיים

V = U_{1} \oplus U_{2} \oplus U_{3}

, אז

V = U_{1}^{⊥} \oplus U_{2}^{⊥} \oplus U_{3}^{⊥}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה832015סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתמשלים אורתוגונליסכום ישרהוכח או הפרךדוגמה נגדית

חפשו דוגמה נגדית ב-

R^{2}

עם שלושה תת-מרחבים שאחד מהם טריוויאלי. שימו לב שהמשלים האורתוגונלי של

{0}

הוא כל המרחב.

הטענה אינה נכונה בכלליות. ניתן דוגמה נגדית.

ניקח

V = R^{2}

עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית. נגדיר:

U_{1} = span {(1, 0)}, U_{2} = span {(1, 1)}, U_{3} = {0}

אז

V = U_{1} \oplus U_{2} \oplus U_{3}

כי כל וקטור

(a, b) = (a - b) (1, 0) + b (1, 1)

והצירוף יחיד.

כעת נחשב את המשלימים האורתוגונליים:
-

U_{1}^{⊥} = span {(0, 1)}

U_{2}^{⊥} = span {(1, - 1)}

U_{3}^{⊥} = R^{2}

מכיוון ש-

U_{3}^{⊥} = V

, הסכום

U_{1}^{⊥} + U_{2}^{⊥} + U_{3}^{⊥} = V

, אך זה אינו סכום ישר כי

U_{1}^{⊥} \subseteq U_{3}^{⊥}

ו-

U_{2}^{⊥} \subseteq U_{3}^{⊥}

, ובפרט סכום המימדים הוא

1 + 1 + 2 = 4 > 2 = dim V

.

לכן הטענה הופרכה.

■

שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2015 - מרחב מכפלה פנימית