שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2015 - מרחב מכפלה פנימית
קורס: אלגברה לינארית 2
אוניברסיטה: האוניברסיטה הפתוחה
שנה: 2015
סמסטר: ב
נושאים: מרחב מכפלה פנימית, משלים אורתוגונלי, סכום ישר, הוכח או הפרך, דוגמה נגדית
רמת קושי: בינוני-קשה
הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה: אם $U_1, U_2$ ו-$U_3$ הם תת-מרחבים של מרחב מכפלה פנימית $V$, ומתקיים $V = U_1 \oplus U_2 \oplus U_3$, אז $V = U_1^\perp \oplus U_2^\perp \oplus U_3^\perp$.
רמז: חפשו דוגמה נגדית ב-$\mathbb{R}^2$ עם שלושה תת-מרחבים שאחד מהם טריוויאלי. שימו לב שהמשלים האורתוגונלי של $\{0\}$ הוא כל המרחב.
פתרון: הטענה **אינה נכונה** בכלליות. ניתן דוגמה נגדית.
ניקח $V = \mathbb{R}^2$ עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית. נגדיר:
$$U_1 = \text{span}\{(1,0)\}, \quad U_2 = \text{span}\{(1,1)\}, \quad U_3 = \{0\}$$
אז $V = U_1 \oplus U_2 \oplus U_3$ כי כל וקטור $(a,b) = (a-b)(1,0) + b(1,1)$ והצירוף יחיד.
כעת נחשב את המשלימים האורתוגונליים:
- $U_1^\perp = \text{span}\{(0,1)\}$
- $U_2^\perp = \text{span}\{(1,-1)\}$
- $U_3^\perp = \mathbb{R}^2$
מכיוון ש-$U_3^\perp = V$, הסכום $U_1^\perp + U_2^\perp + U_3^\perp = V$, אך זה **אינו סכום ישר** כי $U_1^\perp \subseteq U_3^\perp$ ו-$U_2^\perp \subseteq U_3^\perp$, ובפרט סכום המימדים הוא $1 + 1 + 2 = 4 > 2 = \dim V$.
לכן הטענה הופרכה. $\blacksquare$
הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה: אם U1,U2 ו-U3 הם תת-מרחבים של מרחב מכפלה פנימית V, ומתקיים V=U1⊕U2⊕U3, אז V=U1⊥⊕U2⊥⊕U3⊥.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
האוניברסיטה הפתוחה83 · 2015 · סמסטר ב
★★★★★
מרחב מכפלה פנימיתמשלים אורתוגונליסכום ישרהוכח או הפרךדוגמה נגדית
חפשו דוגמה נגדית ב-R2 עם שלושה תת-מרחבים שאחד מהם טריוויאלי. שימו לב שהמשלים האורתוגונלי של {0} הוא כל המרחב.
הטענה אינה נכונה בכלליות. ניתן דוגמה נגדית.
ניקח V=R2 עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית. נגדיר:
U1=span{(1,0)},U2=span{(1,1)},U3={0}
אז V=U1⊕U2⊕U3 כי כל וקטור (a,b)=(a−b)(1,0)+b(1,1) והצירוף יחיד.
כעת נחשב את המשלימים האורתוגונליים:
U1⊥=span{(0,1)}
U2⊥=span{(1,−1)}
U3⊥=R2
מכיוון ש-U3⊥=V, הסכום U1⊥+U2⊥+U3⊥=V, אך זה אינו סכום ישר כי U1⊥⊆U3⊥ ו-U2⊥⊆U3⊥, ובפרט סכום המימדים הוא 1+1+2=4>2=dimV.