שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2024 - צורה ריבועית

האם קיים $a$ ממשי כך שהתבנית הריבועית $$q: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, \quad q(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 2x_2^2 + x_3^2 + 2a\,x_1 x_2 + 6x_1 x_3 + 2x_2 x_3$$ חיובית לחלוטין? אם כן, מצאו את כל הערכים של $a$ שעבורם התבנית הריבועית חיובית לחלוטין. נמקו!

רמז: בנו את המטריצה הסימטרית של $q$ והשתמשו בקריטריון סילבסטר (מינורים ראשיים מובילים). בדקו האם המינור מסדר 3 יכול להיות חיובי.

פתרון: המטריצה הסימטרית המייצגת את $q$ היא: $$A = \begin{pmatrix} 2 & a & 3 \\ a & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $q$ חיובית לחלוטין אם ורק אם כל **המינורים הראשיים המובילים** חיוביים (קריטריון סילבסטר): **מינור ראשי מסדר 1:** $\Delta_1 = 2 > 0$. $\checkmark$ **מינור ראשי מסדר 2:** $\Delta_2 = \det\begin{pmatrix} 2 & a \\ a & 2 \end{pmatrix} = 4 - a^2 > 0$, כלומר $-2 < a < 2$. **מינור ראשי מסדר 3:** $\Delta_3 = \det(A)$. נחשב את הדטרמיננטה בפיתוח לפי השורה הראשונה: $$\det(A) = 2(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - a(a \cdot 1 - 1 \cdot 3) + 3(a \cdot 1 - 2 \cdot 3)$$ $$= 2(2 - 1) - a(a - 3) + 3(a - 6)$$ $$= 2 - a^2 + 3a + 3a - 18 = -a^2 + 6a - 16$$ דרוש $-a^2 + 6a - 16 > 0$, כלומר $a^2 - 6a + 16 < 0$. הדיסקרימיננטה: $\Delta = 36 - 64 = -28 < 0$. כיוון שהמקדם של $a^2$ חיובי והדיסקרימיננטה שלילית, הפולינום $a^2 - 6a + 16$ **חיובי תמיד**, ולכן $a^2 - 6a + 16 < 0$ אינו מתקיים לאף $a$. **מסקנה:** לא קיים $a$ ממשי שעבורו $q$ חיובית לחלוטין. $\blacksquare$