שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - אוניברסיטת תל אביב 2021 - מרחב עמודות

הוכיחו או הפריכו: תהי $A \in M_n(\mathbb{R})$ מטריצה המקיימת $\text{rank}(A) = \text{rank}(A^2)$. אז מתקיים $C(A) = C(A^2)$. (תזכורת: $C(A)$ הוא מרחב העמודות של $A$.)

רמז: שימו לב שתמיד מתקיים $C(A^2) \subseteq C(A)$ (מדוע?). הנתון $\text{rank}(A) = \text{rank}(A^2)$ נותן לכם מידע על המימדים. מה מסיקים ממרחב שהוא תת-מרחב עם אותו מימד?

פתרון: **הטענה נכונה.** ראשית, נשים לב ש-$C(A^2) \subseteq C(A)$ תמיד: כל עמודה של $A^2 = A \cdot A$ היא צירוף לינארי של עמודות $A$. מהנתון: $\text{rank}(A^2) = \text{rank}(A)$, כלומר $\dim C(A^2) = \dim C(A)$. מכיוון ש-$C(A^2)$ הוא תת-מרחב של $C(A)$ עם אותו מימד, בהכרח $C(A^2) = C(A)$. $\blacksquare$