שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2013 - אופרטור צמוד

יהי $V$ מרחב אוניטרי ממימד $n$, ותהי $S: V \to V$ טרנספורמציה לינארית הפיכה. נסמן $M = \sqrt{\max\{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}}$ כאשר $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ הם הערכים העצמיים (הממשיים והחיוביים) של $S^*S$. הוכיחו ש-$\|S(\mathbf{v})\| \leq M$ לכל וקטור $\mathbf{v} \in V$ המקיים $\|\mathbf{v}\| \leq 1$. רמז: היעזרו בטענת סעיף א'.

רמז: השתמשו בכך ש-$S^*S$ הרמיטי (ולכן לכסין אורתוגונלית) ופרקו את $\mathbf{v}$ לפי בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים של $S^*S$.

פתרון: **הוכחה:** מסעיף א, $S^*S$ הרמיטי עם ערכים עצמיים חיוביים $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$. מאחר ש-$S^*S$ הרמיטי, לפי המשפט הספקטרלי קיים בסיס אורתונורמלי $\{e_1, \ldots, e_n\}$ של $V$ המורכב מוקטורים עצמיים של $S^*S$, כאשר $S^*S(e_i) = \lambda_i e_i$. יהי $\mathbf{v} \in V$ עם $\|\mathbf{v}\| \leq 1$. נכתוב $\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i$. אז $\|\mathbf{v}\|^2 = \sum_{i=1}^n |\alpha_i|^2 \leq 1$. נחשב: $$\|S(\mathbf{v})\|^2 = \langle S\mathbf{v}, S\mathbf{v} \rangle = \langle S^*S\mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle$$ $$= \left\langle S^*S\left(\sum_i \alpha_i e_i\right), \sum_j \alpha_j e_j \right\rangle = \left\langle \sum_i \alpha_i \lambda_i e_i, \sum_j \alpha_j e_j \right\rangle$$ $$= \sum_{i=1}^n \lambda_i |\alpha_i|^2$$ מאחר ש-$\lambda_i \leq \max\{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\} = M^2$ לכל $i$: $$\|S(\mathbf{v})\|^2 = \sum_{i=1}^n \lambda_i |\alpha_i|^2 \leq M^2 \sum_{i=1}^n |\alpha_i|^2 = M^2 \|\mathbf{v}\|^2 \leq M^2 \cdot 1 = M^2$$ לכן $\|S(\mathbf{v})\| \leq M$. $\blacksquare$