שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2018 - אופרטור אוניטרי

יהי $V$ מרחב אוניטרי ממימד סופי, ותהי $T : V \to V$ טרנספורמציה לינארית. הנחת ש-$T^{2018} = I$ ו-$T \neq I$. האם בהכרח $T$ אי-שלילית? הוכיחו.

רמז: בחנו את הערכים העצמיים של $T$: הם שורשי יחידה מסדר 2018. חשבו על דוגמה פשוטה כמו סיבוב.

פתרון: ראשית, $T^{2018} = I$ גורר ש-$T$ **הפיכה** (כי $T^{-1} = T^{2017}$). הפולינום המינימלי של $T$ מחלק את $x^{2018} - 1$, ולכן כל ערך עצמי $\lambda$ של $T$ מקיים $\lambda^{2018} = 1$, כלומר $\lambda$ הוא **שורש יחידה מסדר מחלק 2018**. מכיוון ש-$V$ מרחב אוניטרי, $T$ לא בהכרח נורמלי, אך הערכים העצמיים הם שורשי יחידה. **$T$ לא בהכרח אי-שלילית.** דוגמה נגדית: ניקח $V = \mathbb{C}^1$ ו-$T(v) = \omega v$ כאשר $\omega = e^{2\pi i / 2018}$. אז $T^{2018} = I$ ו-$T \neq I$. הערך העצמי היחיד הוא $\omega = e^{2\pi i / 2018}$ שאינו ממשי אי-שלילי. לחלופין, אם עובדים מעל $\mathbb{R}$: ניקח $V = \mathbb{R}^2$ עם $T$ סיבוב בזווית $\frac{2\pi}{2018}$. אז $T^{2018} = I$, $T \neq I$, אך $T$ אינה סימטרית ולכן אינה אי-שלילית. לכן **התשובה שלילית** — $T$ אינה בהכרח אי-שלילית. $\blacksquare$