שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2010 - מטריצות

תהי $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ההעתקה הלינארית המוגדרת על-ידי $T(x,y) = (x+2y, y)$. חשבו את המטריצה $[T]_E^k$ ביחס לבסיס הסטנדרטי $E$ עבור מספר טבעי $k$ (אפשר להשתמש באינדוקציה) ורשמו נוסחה עבור $T^k(x,y)$.

רמז: חשבו את $[T]_E^2$, $[T]_E^3$ ונסו לזהות את הדפוס. שימו לב למבנה של $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^k$.

פתרון: מטריצת הייצוג של $T$ ביחס לבסיס הסטנדרטי היא: $$[T]_E = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ **טענה:** $[T]_E^k = \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ לכל $k \in \mathbb{N}$. **הוכחה באינדוקציה:** *בסיס:* עבור $k = 1$: $[T]_E^1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓ *צעד:* נניח שהטענה נכונה עבור $k$. נוכיח עבור $k+1$: $$[T]_E^{k+1} = [T]_E^k \cdot [T]_E = \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 + 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2(k+1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ זה מה שצריך. ✓ **נוסחה עבור $T^k(x,y)$:** $$T^k(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2ky \\ y \end{pmatrix}$$ לכן $T^k(x,y) = (x + 2ky,\, y)$.