שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2023 - מטריצות

א. (12 נק') תהיינה $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ מטריצות המקיימות סוגריות חסרות $AB - BA = A$. הוכיחו ש-$\text{tr}(A) = 0$ וגם ש-$\det A = 0$. להזכירכם, הגדרה 10.7.4 – $\text{tr}(A)$ היא העקבה של מטריצה $A$. ב. (13 נק') נתונה מטריצה $$A = \begin{pmatrix} 2 & -a & 1-a \\ 0 & a+3 & a \\ 0 & -a-2 & 1-a \end{pmatrix}, \quad a \in \mathbb{R}$$ 1. הוכיחו כי לכל ערך של $a$ המטריצה $A$ לכסינה. 2. חשבו $\det A$.

רמז: לחלק א', הפעל **עקבה** על שני אגפי המשוואה $AB - BA = A$ תוך שימוש בתכונה $\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)$; לאחר מכן, הניח בשלילה ש-$A$ הפיכה וכפול ב-$A^{-1}$ כדי להגיע לסתירה. לחלק ב', שים לב שהמטריצה **בלוק משולשת** — חשב את הפולינום האופייני לפי הבלוקים ובחן האם הערכים העצמיים מובחנים.

פתרון: **חלק א'** **הוכחה ש-$\operatorname{tr}(A) = 0$:** נחיל את פונקציית **העקבה** על שני אגפי המשוואה $AB - BA = A$: $$\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(A)$$ מתכונת **הלינאריות** של העקבה: $$\operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = \operatorname{tr}(A)$$ ממשפט מוכר, לכל $X, Y \in M_n(\mathbb{R})$ מתקיים $\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)$, לכן: $$0 = \operatorname{tr}(A)$$ $\blacksquare$ --- **הוכחה ש-$\det A = 0$:** נניח בשלילה ש-$A$ **הפיכה**, כלומר $\det A \neq 0$. מהמשוואה $AB - BA = A$ נכפיל מימין ב-$A^{-1}$: $$ABA^{-1} - B = I$$ $$ABA^{-1} = B + I$$ נחיל **עקבה** על שני האגפים. ממשפט **דמיון**: $\operatorname{tr}(ABA^{-1}) = \operatorname{tr}(B)$, לכן: $$\operatorname{tr}(B) = \operatorname{tr}(B + I) = \operatorname{tr}(B) + \operatorname{tr}(I) = \operatorname{tr}(B) + n$$ מכאן $0 = n$, **סתירה** שכן $n \geq 1$. לכן ההנחה שגויה, ו-$A$ אינה הפיכה, כלומר $\det A = 0$. $\blacksquare$ --- **חלק ב'** המטריצה $A$ היא **בלוק משולשת עליונה** (שורות 2–3 מאפסות את העמודה הראשונה): $$A = \begin{pmatrix} 2 & -a & 1-a \\ 0 & a+3 & a \\ 0 & -a-2 & 1-a \end{pmatrix}$$ לכן **הפולינום האופייני** הוא: $$p_A(\lambda) = (2 - \lambda) \cdot \det\begin{pmatrix} a+3-\lambda & a \\ -a-2 & 1-a-\lambda \end{pmatrix}$$ נחשב את הדטרמיננטה של הבלוק $2\times 2$: $$\begin{aligned} &(a+3-\lambda)(1-a-\lambda) - a(-a-2)\\ &= (a+3)(1-a) - (a+3)\lambda - (1-a)\lambda + \lambda^2 + a^2 + 2a\\ &= \lambda^2 - \underbrace{(a+3+1-a)}_{=4}\lambda + \underbrace{(-a^2-2a+3) + (a^2+2a)}_{=3}\\ &= \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda-1)(\lambda-3) \end{aligned}$$ לפיכך: $$p_A(\lambda) = (2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-3)$$ **1. הוכחה שהמטריצה לכסינה לכל $a \in \mathbb{R}$:** ה**ערכים העצמיים** של $A$ הם $\lambda_1 = 1,\ \lambda_2 = 2,\ \lambda_3 = 3$ — **שלושה ערכים עצמיים שונים זה מזה**, ללא תלות ב-$a$. ממשפט: מטריצה בגודל $n\times n$ המקיימת שכל ערכיה העצמיים **שונים זה מזה** היא **לכסינה**. מכיוון ש-$A$ בגודל $3\times 3$ עם 3 ערכים עצמיים מובחנים, $A$ לכסינה לכל ערך של $a$. $\blacksquare$ **2. חישוב $\det A$:** מ**נוסחת וייאטה**, הדטרמיננטה שווה למכפלת הערכים העצמיים: $$\det A = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = \boxed{6}$$