שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2012 | prepd

אתר תרגול לבחינות

יהיו

U, W

תת-מרחבים של

R_{4} [x]

המוגדרים על-ידי:

U = S p {x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2, 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 3, x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 3}

W = S p {x^{3} + x^{2} - 1, x^{3} + 2 x^{2} + 3 x, 2 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}

מיצאו בסיס ל-

U \cap W

.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן סמסטר ב מועד ב · 2012 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב וקטורי

השתמשו בנוסחת המימדים

dim (U \cap W) = dim U + dim W - dim (U + W)

כדי למצוא את המימד, ואז מיצאו וקטור השייך לשני התת-מרחבים.

מהסעיף הקודם:

dim U = 2

,

dim W = 2

,

dim (U + W) = 3

.

לפי נוסחת המימדים:

dim (U \cap W) = dim U + dim W - dim (U + W) = 2 + 2 - 3 = 1

נמצא וקטור ב-

U \cap W

. וקטור כללי ב-

U

:

v = a (1, 2, 2, - 2) + b (0, - 1, - 2, 1) = (a, 2 a - b, 2 a - 2 b, - 2 a + b)

וקטור כללי ב-

W

:

v = c (1, 1, 0, - 1) + d (0, 1, 3, 1) = (c, c + d, 3 d, - c + d)

משוואות:
1.

a = c

2.

2 a - b = c + d

3.

2 a - 2 b = 3 d

4.

- 2 a + b = - c + d

ממשוואה 1:

c = a

.
ממשוואה 2:

2 a - b = a + d \Rightarrow d = a - b

.
ממשוואה 3:

2 a - 2 b = 3 (a - b) = 3 a - 3 b \Rightarrow b = a

.
לכן

d = a - a = 0

,

c = a

.

נציב

a = 1

:

b = 1

,

c = 1

,

d = 0

.

v = 1 \cdot (1, 2, 2, - 2) + 1 \cdot (0, - 1, - 2, 1) = (1, 1, 0, - 1)

זה מתאים לפולינום

x^{3} + x^{2} - 1

.

בסיס ל-

U \cap W

:

{x^{3} + x^{2} - 1}

.

שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2012 | prepd