שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2012 - מרחב הילברט

א. האם התת-מרחב $M = \left\{f(t) \in L^2[1,\infty) : \int_1^{\infty} \frac{f(t)}{t} dt = 0\right\}$ סגור ב- $L^2[1,\infty)$? ב. יהי $A$ אופרטור לינארי במרחב בנך $B$ (שים לב: לא נתון מראש ש- $A$ חסום). הוכח כי אם קיים $C$ כך ש- $\sigma(A) \subset C$ אז אם $(\lambda I - A)$ בעל טווח צפוף ב- $B$ לכל $\lambda \notin C$, אז $A$ אופרטור סגור.

רמז: א. הצג את התנאי האינטגרלי כפונקציונל לינארי ובדוק האם הוא רציף. ב. השתמש בהנחה שקיים $\lambda$ ברזולבנט של $A$ כדי להוכיח שאם סדרה $x_n \to x$ וגם $Ax_n \to y$, אז $Ax = y$.

פתרון: א. **כן, התת-מרחב $M$ סגור.** כדי להוכיח ש-$M$ הוא תת-מרחב סגור של מרחב הילברט $L^2[1,\infty)$, נראה שהוא מהווה גרעין של פונקציונל לינארי חסום. נגדיר פונקציונל $\varphi: L^2[1,\infty) \to \mathbb{C}$ על ידי: $$\varphi(f) = \int_1^{\infty} \frac{f(t)}{t} dt$$ התת-מרחב $M$ הוא בדיוק הגרעין של $\varphi$: $M = \ker(\varphi) = \{f \in L^2[1,\infty) : \varphi(f)=0\}$. **גרעין** של **פונקציונל לינארי רציף** (או חסום) הוא תמיד תת-מרחב סגור. לכן, מספיק להוכיח ש-$\varphi$ הוא פונקציונל לינארי חסום. ניתן לכתוב את $\varphi(f)$ כמכפלה פנימית במרחב $L^2[1,\infty)$. נגדיר את הפונקציה $g(t) = \frac{1}{t}$. אז: $$\varphi(f) = \int_1^{\infty} f(t) \cdot \frac{1}{t} dt = \int_1^{\infty} f(t) \overline{g(t)} dt = \langle f, g \rangle_{L^2}$$ לפי **משפט ההצגה של ריס**, פונקציונל מהצורה $\varphi(f) = \langle f, g \rangle$ הוא פונקציונל לינארי חסום אם ורק אם $g$ הוא איבר במרחב, כלומר $g \in L^2[1,\infty)$. נבדוק אם $g(t) = \frac{1}{t}$ שייך ל-$L^2[1,\infty)$. לשם כך, נחשב את הנורמה הריבועית שלו: $$\|g\|_{L^2}^2 = \int_1^{\infty} |g(t)|^2 dt = \int_1^{\infty} \left|\frac{1}{t}\right|^2 dt = \int_1^{\infty} \frac{1}{t^2} dt$$ האינטגרל הוא אינטגרל לא אמיתי פשוט: $$\int_1^{\infty} \frac{1}{t^2} dt = \left[ -\frac{1}{t} \right]_1^{\infty} = \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{b}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = 0 - (-1) = 1$$ מאחר ש-\|g\|_{L^2}^2 = 1 < \infty$, הפונקציה $g(t)=\frac{1}{t}$ אכן שייכת למרחב $L^2[1,\infty)$. מכאן נובע שהפונקציונל $\varphi$ הוא חסום (ולכן רציף), והתת-מרחב $M = \ker(\varphi)$ הוא **תת-מרחב סגור** של $L^2[1,\infty)$. $\blacksquare$ ב. **הוכחה שהאופרטור $A$ סגור.** אופרטור לינארי $A$ המוגדר על כל המרחב $B$ נקרא **אופרטור סגור** אם לכל סדרה ${x_n} \subset B$ המקיימת $x_n \to x$ וגם $Ax_n \to y$ (עבור $x, y \in B$), מתקיים $Ax = y$. ההנחה הראשונה היא שקיים $C$ כך ש**הספקטרום** $\sigma(A) \subset C$. נניח כי $C \neq \mathbb{C}$ (אחרת הטענה טריוויאלית). לכן, קיים לפחות $\lambda_0 \in \mathbb{C} \setminus C$. עבור $\lambda_0$ כזה, מתקיים $\lambda_0 \notin \sigma(A)$, כלומר $\lambda_0$ שייך לקבוצת ה**רזולבנט** $\rho(A)$. על פי ההגדרה הסטנדרטית של הרזולבנט, אם $\lambda_0 \in \rho(A)$, אז האופרטור $(\lambda_0 I - A)$ הוא הפיך, והאופרטור ההופכי שלו, $R(\lambda_0; A) = (\lambda_0 I - A)^{-1}$, הוא **אופרטור חסום** המוגדר על כל מרחב הבנך $B$. כלומר, $R(\lambda_0; A) \in B(B)$. כתוצאה מכך, הטווח של $(\lambda_0 I - A)$ הוא כל המרחב $B$. לכן, ההנחה השנייה, שהטווח של $(\lambda I - A)$ צפוף ב-$B$ לכל $\lambda \notin C$, מתקיימת באופן אוטומטי. כעת נוכיח ש-$A$ הוא אופרטור סגור. תהי סדרה $x_n \in B$ כך ש-$x_n \to x$ ו-$Ax_n \to y$. נשתמש ב-$\lambda_0 \in \rho(A)$ ובאופרטור ההופכי החסום $R_0 = (\lambda_0 I - A)^{-1}$. נגדיר סדרה $y_n = (\lambda_0 I - A)x_n$. על פי אריתמטיקה של גבולות: $$y_n = \lambda_0 x_n - Ax_n \xrightarrow{n\to\infty} \lambda_0 x - y$$ נסמן $z = \lambda_0 x - y$. מכך ש-$y_n = (\lambda_0 I - A)x_n$, נובע כי $x_n = R_0 y_n$. יש לנו סדרה $y_n \to z$ ו-$x_n = R_0 y_n$. מאחר שהאופרטור $R_0$ חסום, הוא בפרט **רציף**. לכן, מהתכנסות $y_n \to z$ נובעת ההתכנסות: $$R_0 y_n \to R_0 z$$ ידוע לנו גם כי $x_n \to x$. מאחר ש-$x_n=R_0 y_n$, מיחידות הגבול במרחב נורמי, אנו מסיקים כי: $$x = R_0 z = R_0 (\lambda_0 x - y)$$ כעת, נפעיל את האופרטור $(\lambda_0 I - A)$ על שני אגפי המשוואה. מאחר ש-$x \in B$ והתחום של $(\lambda_0 I - A)$ הוא $B$, הפעולה חוקית: $$(\lambda_0 I - A)x = (\lambda_0 I - A)R_0(\lambda_0 x - y)$$ מכיוון ש-$R_0$ הוא ההופכי של $(\lambda_0 I - A)$, אגף ימין מצטמצם ל-$(\lambda_0 x - y)$. לכן, קיבלנו: $$\lambda_0 x - Ax = \lambda_0 x - y$$ לאחר צמצום $\lambda_0 x$ משני האגפים, אנו מקבלים $ -Ax = -y$, או $Ax = y$. הראינו כי לכל סדרה $x_n \to x$ המקיימת $Ax_n \to y$, מתקיים $Ax = y$. לכן, על פי ההגדרה, $A$ הוא אופרטור סגור. $\blacksquare$