(א) תהי {x1,x2,…,xn} קבוצה בלתי-תלויה לינארית במרחב בנך B ותהי {c1,c2,…,cn} קבוצת סקלרים שרירותית.
הוכיחו כי קיים f∈B∗ כזה ש-f(xk)=ck לכל k=1,…,n.
(ב) יהיו P אופרטור הטלה אורתוגונלית ו-U אופרטור אוניטרי במרחב הילברט H.
נגדיר Q=U−1PU:H→H. הוכיחו כי Q אופרטור הטלה אורתוגונלית.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2022 · סמסטר ב
★★★★★
מרחב דואליפונקציונל לינארימשפט האן-בנךהטלה אורתוגונליתאופרטור אוניטרימרחב הילברטהוכחה
א. הראו שאם S,T∈L(H) אופרטורים צמודים לעצמם ו- 0≤S אז 0≤TST.
ב. נאמר כי מרחב נורמי X קמור במידה שווה (uniformly convex) אם לכל 0<ε קיים δ>0 כך שלכל ∥x∥=∥y∥=1 שמקיימים ∥x−y∥≥ε מתקיים 21(x+y)≤1−δ. הוכיחו כי X קמור במידה שווה אם ורק אם מכך שסדרות {xn}⊂X, {yn}⊂X מקיימות לכל n מקיימות ∥xn∥=∥yn∥=1 ו- 21(xn+yn)→1 נובע ∥xn−yn∥→0.
אנליזה פונקציונלית – מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום. נושאים מרכזיים: מרחב מטרי, מרחב נורמי, מרחב מכפלה פנימית, אופרטורים לינאריים, ספקטרום. 80 שאלות ממבחנים עם פתרונות, ממוינות לפי נושא ורמת קושי. ניתן לתרגל לפי נושאים, לסנן שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה לפני הבחינה. הכנה לאנליזה פונקציונלית מתמקדת במרחבי בנך והילברט, אופרטורים לינאריים ומשפטי היסוד. תרגול שאלות ממבחנים — עם דגש על הוכחות ודוגמאות נגדיות — הוא הדרך הכי יעילה לגלות פערים. המאגר כולל שאלות מהאוניברסיטה הפתוחה.