שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2021 - סדרת פונקציות

סדרת פונקציות $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ מתכנסת נקודתית לפונקציה $f(x)$ בקטע $[0, 1]$ ומקיימת את התנאי $|f_n(x) - f_n(y)| \le |x - y|$ לכל $n \in \mathbb{N}$ וכל $x, y \in [0, 1]$. א. הוכיחו כי $|f(x) - f(y)| \le |x - y|$ לכל $x, y \in [0, 1]$ (11 נק׳). ב. הוכיחו כי $f_n \to f$ (10 נק׳). (כמובן, ההתכנסות היא במידה שווה שם.)

רמז: לסעיף ב', חלקו את הקטע $[0,1]$ למספר סופי של תת-קטעים קטנים. השתמשו בהתכנסות הנקודתית בקצות הקטעים, ובתנאי ליפשיץ כדי להרחיב את החסם לכל נקודה בקטע.

פתרון: **א.** נרצה להוכיח כי פונקציית הגבול $f(x)$ מקיימת את **תנאי ליפשיץ** $|f(x) - f(y)| \le |x - y|$ לכל $x, y \in [0, 1]$. יהיו $x, y \in [0, 1]$ שתי נקודות כלשהן בקטע. נתון כי סדרת הפונקציות $\{f_n(x)\}$ **מתכנסת נקודתית** לפונקציה $f(x)$. כלומר, לכל $z \in [0, 1]$ מתקיים: $$ \lim_{n \to \infty} f_n(z) = f(z) $$ לפיכך, נוכל להשתמש ב**אריתמטיקה של גבולות** ולקבל: $$ \lim_{n \to \infty} (f_n(x) - f_n(y)) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) - \lim_{n \to \infty} f_n(y) = f(x) - f(y) $$ מכיוון שפונקציית הערך המוחלט רציפה, ניתן להחליף בין הגבול לבין הפעלת הפונקציה: $$ |f(x) - f(y)| = |\lim_{n \to \infty} (f_n(x) - f_n(y))| = \lim_{n \to \infty} |f_n(x) - f_n(y)| $$ מהנתון, לכל $n \in \mathbb{N}$ מתקיים אי-השוויון: $$ |f_n(x) - f_n(y)| \le |x - y| $$ ניקח את הגבול כאשר $n \to \infty$ משני אגפי אי-השוויון. אגף ימין הוא קבוע ביחס ל-$n$. $$ \lim_{n \to \infty} |f_n(x) - f_n(y)| \le \lim_{n \to \infty} |x - y| $$ $$ |f(x) - f(y)| \le |x - y| $$ מאחר ש-$x, y$ היו נקודות שרירותיות בקטע $[0, 1]$, המסקנה נכונה לכל $x, y \in [0, 1]$. $\blacksquare$ **ב.** נרצה להוכיח כי ההתכנסות $f_n \to f$ היא **במידה שווה** (במ"ש) בקטע $[0, 1]$. כלומר, עלינו להראות כי לכל $\varepsilon > 0$, קיים $N \in \mathbb{N}$ כך שלכל $n > N$ ולכל $x \in [0, 1]$ מתקיים $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$. יהי $\varepsilon > 0$. נבחר מספר טבעי $M$ כך ש-$\frac{1}{M} < \frac{\varepsilon}{3}$. נגדיר קבוצה סופית של נקודות בקטע $[0, 1]$ באופן הבא: $$ P = \left\{ x_k = \frac{k}{M} \mid k = 0, 1, \dots, M \right\} $$ ההתכנסות $f_n \to f$ היא נקודתית, ולכן לכל נקודה $x_k \in P$ קיים $N_k \in \mathbb{N}$ כך שלכל $n > N_k$ מתקיים $|f_n(x_k) - f(x_k)| < \frac{\varepsilon}{3}$. מכיוון ש-$P$ היא קבוצה סופית (בת $M+1$ נקודות), נוכל לבחור $N = \max\{N_0, N_1, \dots, N_M\}$. אזי, לכל $n > N$ ולכל $x_k \in P$ מתקיים: $$ |f_n(x_k) - f(x_k)| < \frac{\varepsilon}{3} $$ כעת, יהי $x \in [0, 1]$ כלשהו. מכיוון שהנקודות $x_k$ מחלקות את הקטע, קיים $k \in \{0, 1, \dots, M-1\}$ כך ש-$x \in [x_k, x_{k+1}]$. לכן, $|x - x_k| \le x_{k+1} - x_k = \frac{1}{M}$. נשתמש ב**אי-שוויון המשולש** כדי לחסום את $|f_n(x) - f(x)|$ עבור $n > N$: $$ |f_n(x) - f(x)| \le |f_n(x) - f_n(x_k)| + |f_n(x_k) - f(x_k)| + |f(x_k) - f(x)| $$ נחסום כל אחד מהאיברים באגף ימין: 1. מהנתון על $f_n$, $|f_n(x) - f_n(x_k)| \le |x - x_k| \le \frac{1}{M} < \frac{\varepsilon}{3}$. 2. מבחירת $N$, מכיוון ש-$n > N$ ו-$x_k \in P$, מתקיים $|f_n(x_k) - f(x_k)| < \frac{\varepsilon}{3}$. 3. מהתוצאה בסעיף א', $|f(x) - f(x_k)| \le |x - x_k| \le \frac{1}{M} < \frac{\varepsilon}{3}$. נציב את שלושת החסמים חזרה באי-שוויון המשולש: $$ |f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon $$ הראינו כי לכל $\varepsilon > 0$ קיים $N$ כך שלכל $n>N$ ולכל $x \in [0,1]$ מתקיים $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$. לפיכך, ההתכנסות היא במידה שווה. $\blacksquare$