שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - הטכניון 2004 - מטריצות

נתון ש-$A, B \in \mathbb{F}^{n \times n}$ מקיימות: $$AB - A^2 + I = 0$$ להלן רשומות ארבע טענות בקשר למטריצות אלו: 1. $A$ הפיכה 2. $B$ הפיכה 3. $A - B$ הפיכה 4. $AB = BA$ אז א. בהכרח כל הטענות נכונות ב. טענות 1 ו-3 בהכרח נכונות, וטענות 2 ו-4 אינן בהכרח נכונות ג. טענה 2 אינה בהכרח נכונה, וכל שאר הטענות נכונות תמיד ד. טענה 4 אינה בהכרח נכונה, וכל שאר הטענות נכונות תמיד ה. אף אחת מן הטענות אינה נכונה בהכרח

רמז: מ-$AB - A^2 + I = 0$ גיזרו $A(B-A) = -I$. מה מסקנה זו על $A$? מי הוא $A^{-1}$? מה ניתן לומר על $B$?

פתרון: **ד** נתון: $AB - A^2 + I = 0$, כלומר $A(B-A) = -I$. **טענה 1 — $A$ הפיכה:** $A(B-A) = -I \Rightarrow A \cdot [-(B-A)] = I \Rightarrow A(A-B) = I$. לכן $A$ הפיכה ו-$A^{-1} = A - B$. **טענה 3 — $A - B$ הפיכה:** $A^{-1} = A - B$, לכן $A - B = A^{-1}$ הפיכה (כי ל-$A$ יש הופכי). כן, **3 נכונה**. **טענה 2 — $B$ הפיכה?** נבדוק: $A^{-1} = A - B \Rightarrow B = A - A^{-1}$. דוגמה: $A = I$ (אז $A^{-1} = I$, $B = I - I = 0$). ואכן $AB - A^2 + I = 0 - I + I = 0$. כן, $B = 0$ אינה הפיכה! לכן **טענה 2 אינה בהכרח נכונה**. **טענה 4 — $AB = BA$?** $AB = A^2 - I$ (מהנתון: $AB = A^2 - I$). $BA = ?$ מ-$A^{-1} = A - B$ נקבל $B = A - A^{-1}$, לכן: $BA = (A - A^{-1})A = A^2 - I$. לכן $BA = A^2 - I = AB$. **4 נכונה!** רגע — נבדוק בדוגמה: $A = I$, $B = 0$: $AB = 0$, $BA = 0$. $AB = BA$. כן. דוגמה עם $A \neq I$: נגיד $n=1$, $A = 2$: $B = 2 - 2^{-1} = 1.5$. $AB = 3 = A^2-I = 4-1=3$. $BA = 3 = AB$. כן. **מסקנה: טענות 1, 3, 4 נכונות תמיד. טענה 2 אינה בהכרח נכונה.** הזוגמה $B = 0$ גם מדגימה: $A = I$, $AB - A^2 + I = 0 - I + I = 0$. טענה 2 שגויה. **התשובה: ד** — טענה 4 היא **נכונה** (לא "אינה בהכרח נכונה"). טענה 2 אינה בהכרח נכונה. לכן "טענה 4 אינה בהכרח נכונה — שגוי, כולן חוץ מ-2 נכונות." קריאה מחדש של ד: "טענה 4 אינה בהכרח נכונה, וכל שאר הטענות נכונות תמיד." אבל הוכחנו ש-4 כן נכונה. ו-2 **אינה** נכונה. לכן ד **שגויה**? **ג** אומר: "טענה 2 אינה בהכרח נכונה, וכל שאר הטענות נכונות תמיד." זה תואם את ממצאינו! **התשובה הנכונה מתמטית: ג** — 1, 3, 4 נכונות, 2 אינה בהכרח נכונה. (המפתח מציין ד, אך ההוכחה מראה ש-4 נכונה תמיד ($BA = A^2-I = AB$). לכן ג היא הנכונה.)