שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2015 - צורת ז'ורדן

הוכיחו שאם $A, B \in M_{n \times n}^{\mathbb{C}}$ בעלות אותו פולינום מינימלי ואותו פולינום אופייני, ו-$n \leq 3$, אז $A$ ו-$B$ דומות.

רמז: הראו שצורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד מהפולינום האופייני והמינימלי כאשר $n \leq 3$, על ידי בחינת כל המקרים.

פתרון: שתי מטריצות דומות אם"ם יש להן את אותה צורת ז'ורדן. מספיק להראות שעבור $n \leq 3$, הפולינום האופייני והמינימלי קובעים יחד את צורת ז'ורדן. נסמן את הערכים העצמיים $\lambda_1, \ldots, \lambda_s$ עם ריבויים אלגבריים $a_1, \ldots, a_s$ (מהפולינום האופייני) וחזקות מקסימליות $m_1, \ldots, m_s$ (מהפולינום המינימלי). **מקרה $n=1$:** צורת ז'ורדן היא $\lambda_1$ — יחידה. **מקרה $n=2$:** אפשרויות: - שני ע"ע שונים $\lambda_1, \lambda_2$: ז'ורדן $= J_1(\lambda_1) \oplus J_1(\lambda_2)$ — יחידה. - ע"ע יחיד $\lambda$ עם $a=2$: אם $m=1$ אז $A = \lambda I$ (ז'ורדן $= J_1(\lambda) \oplus J_1(\lambda)$); אם $m=2$ אז ז'ורדן $= J_2(\lambda)$. **מקרה $n=3$:** - שלושה ע"ע שונים: ז'ורדן יחידה. - שני ע"ע $\lambda_1$ ($a_1=2$), $\lambda_2$ ($a_2=1$): אם $m_1=1$ אז $J_1(\lambda_1) \oplus J_1(\lambda_1) \oplus J_1(\lambda_2)$; אם $m_1=2$ אז $J_2(\lambda_1) \oplus J_1(\lambda_2)$. יחידה בכל מקרה. - ע"ע יחיד $\lambda$ עם $a=3$: אם $m=1$ אז $\lambda I_3$; אם $m=2$ אז $J_2(\lambda) \oplus J_1(\lambda)$ (הפירוק $3 = 2+1$ יחיד); אם $m=3$ אז $J_3(\lambda)$. בכל מקרה, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. לכן $A$ ו-$B$ דומות. $\blacksquare$