שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2015

הוכיחו שאם

A, B \in M_{n \times n}^{C}

בעלות אותו פולינום מינימלי ואותו פולינום אופייני, ו-

n \leq 3

, אז

A

ו-

B

דומות.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה94 · 2015 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןפולינום אופייניפולינום מינימליהוכחה

הראו שצורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד מהפולינום האופייני והמינימלי כאשר

n \leq 3

, על ידי בחינת כל המקרים.

שתי מטריצות דומות אם"ם יש להן את אותה צורת ז'ורדן. מספיק להראות שעבור

n \leq 3

, הפולינום האופייני והמינימלי קובעים יחד את צורת ז'ורדן.

נסמן את הערכים העצמיים

λ_{1}, \dots, λ_{s}

עם ריבויים אלגבריים

a_{1}, \dots, a_{s}

(מהפולינום האופייני) וחזקות מקסימליות

m_{1}, \dots, m_{s}

(מהפולינום המינימלי).

מקרה

n = 1

: צורת ז'ורדן היא

λ_{1}

— יחידה.

מקרה

n = 2

: אפשרויות:

שני ע"ע שונים $λ_{1}, λ_{2}$ : ז'ורדן $= J_{1} (λ_{1}) \oplus J_{1} (λ_{2})$ — יחידה.
ע"ע יחיד $λ$ עם $a = 2$ : אם $m = 1$ אז $A = λ I$ (ז'ורדן $= J_{1} (λ) \oplus J_{1} (λ)$ ); אם $m = 2$ אז ז'ורדן $= J_{2} (λ)$ .

מקרה

n = 3

שלושה ע"ע שונים: ז'ורדן יחידה.
שני ע"ע $λ_{1}$ ( $a_{1} = 2$ ), $λ_{2}$ ( $a_{2} = 1$ ): אם $m_{1} = 1$ אז $J_{1} (λ_{1}) \oplus J_{1} (λ_{1}) \oplus J_{1} (λ_{2})$ ; אם $m_{1} = 2$ אז $J_{2} (λ_{1}) \oplus J_{1} (λ_{2})$ . יחידה בכל מקרה.
ע"ע יחיד $λ$ עם $a = 3$ : אם $m = 1$ אז $λ I_{3}$ ; אם $m = 2$ אז $J_{2} (λ) \oplus J_{1} (λ)$ (הפירוק $3 = 2 + 1$ יחיד); אם $m = 3$ אז $J_{3} (λ)$ .

בכל מקרה, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. לכן

A

ו-

B

דומות.

■

שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2015 - צורת ז'ורדן