שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - הטכניון 2008 - הוכח או הפרך

הוכח או הפרך את הטענה הבאה: כל 4 מטריצות ממשיות ואנטי-סימטריות מסדר $3 \times 3$ תלויות לינארית.

רמז: מטריצה אנטי-סימטרית מסדר $3\times3$ מקיימת $A^T = -A$. מצא בסיס למרחב כל המטריצות האנטי-סימטריות מסדר זה וחשב את מימד המרחב.

פתרון: **טענה:** כל 4 מטריצות ממשיות אנטי-סימטריות מסדר $3\times3$ תלויות לינארית. **הטענה נכונה, ונוכיח אותה.** **שלב 1: אפיון מטריצות אנטי-סימטריות** מטריצה $A$ אנטי-סימטרית אם $A^T = -A$. לכן: - האיברים על האלכסון: $a_{ii} = -a_{ii}$, כלומר $a_{ii}=0$ לכל $i$. - האיברים מחוץ לאלכסון: $a_{ij} = -a_{ji}$. לכן מטריצה אנטי-סימטרית כללית מסדר $3\times3$ היא: $$A = \begin{pmatrix}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{pmatrix}$$ כאשר $a,b,c\in\mathbb{R}$ הם 3 פרמטרים חופשיים. **שלב 2: מציאת בסיס למרחב המטריצות האנטי-סימטריות** נסמן את המרחב $\text{Skew}_3(\mathbb{R})$. ניתן לכתוב: $$A = a\underbrace{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}_{E_1} + b\underbrace{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}_{E_2} + c\underbrace{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}_{E_3}$$ המטריצות $E_1, E_2, E_3$ פורשות את $\text{Skew}_3(\mathbb{R})$ ותלויות לינארית רק אם $a=b=c=0$, לכן הן **בסיס** של $\text{Skew}_3(\mathbb{R})$. **שלב 3: המסקנה** $$\dim(\text{Skew}_3(\mathbb{R})) = 3$$ כל קבוצה של 4 מטריצות ממרחב בעל מימד 3 **חייבת להיות תלויה לינארית**, שכן לא ייתכן שיש יותר מ-3 מטריצות בלתי-תלויות לינארית במרחב זה. **הוכחה פורמלית:** תהיינה $A_1, A_2, A_3, A_4 \in \text{Skew}_3(\mathbb{R})$. ניתן לכתוב כל אחת מהן כצירוף לינארי של $E_1, E_2, E_3$: $$A_i = \alpha_i E_1 + \beta_i E_2 + \gamma_i E_3, \quad i=1,2,3,4$$ נתאים לכל $A_i$ את הוקטור הקואורדינטות $(\alpha_i, \beta_i, \gamma_i)\in\mathbb{R}^3$. אלה 4 וקטורים ב-$\mathbb{R}^3$, ולכן לפי תכונות המימד הם **תלויים לינארית** (כל 4 וקטורים ב-$\mathbb{R}^3$ תלויים לינארית). לכן קיימים סקלרים $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$ לא כולם אפס כך ש: $$\lambda_1(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1)+\lambda_2(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2)+\lambda_3(\alpha_3,\beta_3,\gamma_3)+\lambda_4(\alpha_4,\beta_4,\gamma_4)=(0,0,0)$$ ומכאן: $$\lambda_1 A_1 + \lambda_2 A_2 + \lambda_3 A_3 + \lambda_4 A_4 = 0$$ **לכן $A_1,A_2,A_3,A_4$ תלויות לינארית. הטענה נכונה.** $\blacksquare$