שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2010 - ערכים עצמיים

נתונה $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ העתקה לינארית המקיימת: $$T(1,1,0) = (-2,-2,0), \quad T(1,1,2) = (4,4,8), \quad T(1,0,-1) = (a+2, 0, a+6)$$ כאשר $a$ מספר ממשי, ו-$B = ((1,1,0),(1,1,2),(1,0,-1))$ בסיס. מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם $T$ לכסינה.

רמז: מטריצת הייצוג משולשית עליונה, לכן הערכים העצמיים הם האיברים באלכסון. $T$ לכסינה אם"ם הריבוי הגיאומטרי שווה לריבוי האלגברי עבור כל ערך עצמי.

פתרון: **פתרון:** מסעיף א, מטריצת הייצוג היא: $$[T]_B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -(a+4) \\ 0 & 4 & a+4 \\ 0 & 0 & a+2 \end{pmatrix}$$ זו מטריצה משולשית עליונה, לכן הערכים העצמיים הם: $\lambda_1 = -2$, $\lambda_2 = 4$, $\lambda_3 = a+2$. $T$ לכסינה אם"ם $[T]_B$ לכסינה (כי לכסון אינו תלוי בבסיס הייצוג). **מקרה 1: כל הערכים העצמיים שונים זה מזה.** אם $a+2 \neq -2$ ו-$a+2 \neq 4$, כלומר $a \neq -4$ ו-$a \neq 2$, אז יש 3 ערכים עצמיים שונים ולכן $T$ לכסינה. **מקרה 2: $a = -4$, אז $\lambda_3 = -2$.** הערכים העצמיים: $-2$ (ריבוי אלגברי 2) ו-$4$ (ריבוי אלגברי 1). $$[T]_B - (-2)I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ דרגת מטריצה זו היא 1, לכן הריבוי הגיאומטרי של $\lambda = -2$ הוא $3 - 1 = 2$ = ריבוי אלגברי. לכן $T$ **לכסינה**. **מקרה 3: $a = 2$, אז $\lambda_3 = 4$.** הערכים העצמיים: $-2$ (ריבוי 1) ו-$4$ (ריבוי אלגברי 2). $$[T]_B - 4I = \begin{pmatrix} -6 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ דרגת מטריצה זו היא 2 (שורות 1 ו-3 אינן תלויות, ושורה 2 כן), לכן הריבוי הגיאומטרי של $\lambda = 4$ הוא $3 - 2 = 1 \neq 2$. לכן $T$ **אינה לכסינה**. **מסקנה:** $T$ לכסינה עבור כל $a \neq 2$, כלומר $a \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$.