שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2015 - צורה ריבועית

נתונה הצורה הריבועית הממשית $q: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ המוגדרת: $$q(x_1, x_2, x_3) = 4x_1^2 - (a+1)x_2^2 + 4x_3^2 - 2x_1 x_3$$ כאשר $a \in \mathbb{R}$. מצאו את כל הערכים של הפרמטר $a$ שעבורם הצורה הריבועית חיובית למחצה.

רמז: כתבו את מטריצת הייצוג של הצורה הריבועית ומצאו את ערכיה העצמיים כפונקציה של $a$. דרשו שכולם אי-שליליים.

פתרון: המטריצה המייצגת את הצורה הריבועית היא: $$A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 0 & -(a+1) & 0 \\ -1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ צורה ריבועית **חיובית למחצה** אם ורק אם כל הערכים העצמיים של $A$ אי-שליליים. נחשב את הפולינום האופייני. בגלל שהשורה השנייה מכילה אפסים מלבד האלכסון, נפתח לפי שורה 2: $$\det(A - \lambda I) = (-(a+1) - \lambda) \det\begin{pmatrix} 4 - \lambda & -1 \\ -1 & 4 - \lambda \end{pmatrix}$$ $$= (-(a+1) - \lambda)((4-\lambda)^2 - 1) = (-(a+1) - \lambda)(\lambda^2 - 8\lambda + 15)$$ $$= (-(a+1) - \lambda)(\lambda - 3)(\lambda - 5)$$ לכן הערכים העצמיים הם $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 5$, $\lambda_3 = -(a+1)$. כדי שהצורה תהיה חיובית למחצה דרוש שכל הערכים העצמיים יהיו $\ge 0$: - $\lambda_1 = 3 \ge 0$ ✓ - $\lambda_2 = 5 \ge 0$ ✓ - $\lambda_3 = -(a+1) \ge 0 \iff a \le -1$ לכן הצורה הריבועית חיובית למחצה עבור $a \le -1$. $\blacksquare$