שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2017 - אופרטור צמוד

יהי $V$ מרחב אוניטרי ממימד $n$, ותהי $S: V \to V$ טרנספורמציה לינארית הפיכה. נתונים $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_n > 0$ הערכים העצמיים של $S^*S$, ו-$\lambda_1$ מסמן את הערך העצמי המקסימלי של $S^*S$. (ב) הוכיחו ש-$\|S(v)\|^2 \leq \lambda_1$ לכל וקטור $v \in V$ המקיים $\|v\| \leq 1$.

רמז: כתבו $v$ בבסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים של $S^*S$, והשתמשו בכך ש-$\|Sv\|^2 = \langle S^*Sv, v \rangle$.

פתרון: **הוכחה:** $S^*S$ הרמיטי (וחיובי מוגדר), לכן קיים בסיס אורתונורמלי $\{e_1, \ldots, e_n\}$ של $V$ מוקטורים עצמיים: $S^*Se_i = \lambda_i e_i$. יהי $v \in V$ עם $\|v\| \leq 1$. נכתוב $v = \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i$, אז $\|v\|^2 = \sum_{i=1}^n |\alpha_i|^2 \leq 1$. $$\|S(v)\|^2 = \langle Sv, Sv \rangle = \langle S^*Sv, v \rangle = \left\langle \sum_i \lambda_i \alpha_i e_i, \sum_j \alpha_j e_j \right\rangle = \sum_{i=1}^n \lambda_i |\alpha_i|^2.$$ מאחר ש-$\lambda_i \leq \lambda_1$ לכל $i$: $$\|S(v)\|^2 = \sum_{i=1}^n \lambda_i |\alpha_i|^2 \leq \lambda_1 \sum_{i=1}^n |\alpha_i|^2 = \lambda_1 \|v\|^2 \leq \lambda_1 \cdot 1 = \lambda_1.$$ לכן $\|S(v)\|^2 \leq \lambda_1$. $\blacksquare$