שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2006 - אינטגרלים

חשבו את האינטגרל הקווי $$\int_{ABCDE} \vec{F} \cdot d\vec{s}$$ כאשר $$\vec{F}(x,y,z) = \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} + y, \; \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} + x\right)$$ ו-$A=(1,0)$, $B=(2,3)$, $C=(4,2)$, $D=(5,1)$, $E=(7,0)$.

רמז: בדקו האם $\vec{F}$ הוא שדה משמר (גרדיאנט). רשמו $\vec{F} = \nabla\phi$ ואז האינטגרל שווה ל-$\phi(E) - \phi(A)$.

פתרון: נכתוב $\vec{F} = \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) + (y, x)$. נסמן $\vec{G} = \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) = \nabla\sqrt{x^2+y^2}$ וגם $\vec{H} = (y, x) = \nabla(xy)$. שני השדות הם גרדיאנטים, ולכן $\vec{F} = \nabla\left(\sqrt{x^2+y^2} + xy\right)$. לכן האינטגרל הקווי תלוי רק בנקודות הקצה: $$\int_{ABCDE} \vec{F} \cdot d\vec{s} = \left[\sqrt{x^2+y^2} + xy\right]_A^E$$ $$= \left(\sqrt{49+0} + 7 \cdot 0\right) - \left(\sqrt{1+0} + 1 \cdot 0\right)$$ $$= 7 - 1 = 6$$