שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - הוכח או הפרך

הוכיחו או הפריכו: אם $T: V \to V$ הוא אופרטור נורמלי על מרחב מכפלה פנימית מרוכב סוף-מימדי, אז קיים בסיס אורthונורמלי של $V$ המורכב מווקטורים עצמיים של $T$.

רמז: זכרו את המשפט הספקטרלי לאופרטורים נורמליים. מה ההגדרה של אופרטור נורמלי?

פתרון: **התשובה: נכון.** **הוכחה:** אופרטור $T$ נקרא נורמלי אם $TT^* = T^*T$, כאשר $T^*$ הוא האופרטור הצמוד ל-$T$. על פי המשפט הספקטרלי לאופרטורים נורמליים: **משפט:** יהי $T: V \to V$ אופרטור לינארי על מרחב מכפלה פנימית מרוכב סוף-מימדי. אז $T$ נורמלי אם ורק אם קיים בסיס אורthונורמלי של $V$ המורכב מווקטורים עצמיים של $T$. **הוכחת המשפט (כיוון אחד):** נוכיח באינדוקציה על $\dim V = n$. **בסיס האינדוקציה:** $n = 1$ - טריוויאלי. **שלב האינדוקציה:** נניח שהמשפט נכון עבור כל מרחב ממימד $n-1$. יהי $T: V \to V$ נורמלי כאשר $\dim V = n$. 1) מכיוון ש-$V$ מרוכב, ל-$T$ יש לפחות ערך עצמי $\lambda$. יהי $v$ ווקטור עצמי מנורמל עבור $\lambda$. 2) יהי $W = \text{span}\{v\}$ ו-$U = W^\perp$. 3) נראה ש-$T(U) \subseteq U$: יהי $u \in U$, כלומר $\langle u, v \rangle = 0$. $$\langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle$$ מכיוון ש-$T$ נורמלי, $T^*(v)$ הוא ווקטור עצמי של $T^*$ עבור הערך העצמי $\overline{\lambda}$: $$T^*(v) = \overline{\lambda} v$$ לכן: $\langle T(u), v \rangle = \langle u, \overline{\lambda} v \rangle = \overline{\lambda} \langle u, v \rangle = 0$ מסקנה: $T(u) \in U$. 4) ההגבלה $T|_U: U \to U$ היא גם נורמלית (כי הגבלת אופרטור נורמלי לתת-מרחב אינווריאנטי אורthוגונלי היא נורמלית). 5) על פי הנחת האינדוקציה, ל-$U$ יש בסיס אורthונורמלי המורכב מווקטורים עצמיים של $T|_U$. 6) איחוד הבסיס של $U$ עם $\{v\}$ נותן בסיס אורthונורמלי של $V$ המורכב מווקטורים עצמיים של $T$. $\blacksquare$