שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - הוכח או הפרך

הוכיחו או הפריכו: אם $T: V \to V$ הוא אופרטור נורמלי על מרחב מכפלה פנימית מרוכב סוף-מימדי, אז קיים בסיס אורthונורמלי של $V$ המורכב מווקטורים עצמיים של $T$.

רמז: השתמשו ב**משפט הספקטרלי**: מעל $\mathbb{C}$, לכל פולינום אופייני יש שורש, ולאופרטור נורמלי $T$ מתקיים $\ker(T - \lambda I) = \ker(T^* - \overline{\lambda}I)$. נסו לבנות את הבסיס באינדוקציה על המימד, תוך שימוש בכך שהמשלים האורתוגונלי של מרחב עצמי הוא אינווריאנטי תחת $T$.

פתרון: הטענה **נכונה**. זהו **המשפט הספקטרלי** למרחבים מרוכבים. **משפט:** אם $T: V \to V$ אופרטור נורמלי ($TT^* = T^*T$) על מרחב מכפלה פנימית מרוכב סוף-מימדי, אז קיים בסיס אורתונורמלי של $V$ המורכב מוקטורים עצמיים של $T$. **הוכחה** (באינדוקציה על $n = \dim V$): **בסיס האינדוקציה:** אם $n=1$, כל וקטור אורתונורמלי הוא וקטור עצמי. $\checkmark$ **צעד עזר — למה מרכזית:** אם $T$ נורמלי ו-$\lambda$ ערך עצמי של $T$, אז: $$Tv = \lambda v \iff T^*v = \overline{\lambda}\, v.$$ *הוכחת הלמה:* נגדיר $S = T - \lambda I$. מכיוון ש-$T$ נורמלי, גם $S$ נורמלי (קל לבדוק: $SS^* = S^*S$). עבור אופרטור נורמלי $S$ מתקיים $\|Sv\|^2 = \langle S^*Sv, v\rangle = \langle SS^*v,v\rangle = \|S^*v\|^2$, לכן: $$Sv = 0 \iff S^*v = 0,$$ כלומר $(T-\lambda I)v = 0 \iff (T^* - \overline{\lambda}I)v = 0$. $\checkmark$ **צעד עזר נוסף — המרחב העצמי אינווריאנטי תחת $T^*$:** מהלמה, $\ker(T-\lambda I) = \ker(T^* - \overline{\lambda}I)$, ולכן המרחב העצמי $V_\lambda$ אינווריאנטי גם תחת $T$ וגם תחת $T^*$. **צעד עזר — המשלים האורתוגונלי אינווריאנטי:** נראה כי $V_\lambda^\perp$ אינווריאנטי תחת $T$. יהי $u \in V_\lambda^\perp$ ו-$v \in V_\lambda$. אז: $$\langle Tu, v\rangle = \langle u, T^*v\rangle = \langle u, \overline{\lambda}\, v\rangle = \lambda\langle u,v\rangle = 0,$$ שכן $T^*v = \overline{\lambda}v$ (מהלמה) ו-$u \perp v$. לכן $Tu \in V_\lambda^\perp$. $\checkmark$ **האינדוקציה:** מכיוון ש-$V$ מרחב וקטורי מרוכב סוף-מימדי, לפולינום האופייני של $T$ יש לפחות שורש אחד $\lambda \in \mathbb{C}$, ולכן קיים **ערך עצמי** $\lambda$ ווקטור עצמי $v_1$ עם $\|v_1\|=1$. נגדיר $W = \{v_1\}^\perp = V_\lambda^\perp$ (במקרה שהמרחב העצמי חד-ממדי; בכלל נבחר $W = V_1^\perp$ עבור $V_1 = V_\lambda$). נשים לב ש-$\dim W = n-1$ (או $\dim W < n$ כאשר $\dim V_\lambda > 1$, ובמקרה זה $V_\lambda$ עצמו מכיל בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים). בכל מקרה, נבחר **מרחב אינווריאנטי ממדה $n-1$** תחת $T$: $W = V_\lambda^\perp$. הצמוד של $T|_W$ הוא $(T|_W)^* = T^*|_W$ (כי $W$ אינווריאנטי תחת $T^*$ גם כן), ולכן $T|_W$ הוא **אופרטור נורמלי** על $W$. לפי **השערת האינדוקציה**, קיים בסיס אורתונורמלי $\{v_2, \ldots, v_n\}$ של $W$ מוקטורים עצמיים של $T|_W$ (ולכן של $T$). בסופו של דבר, $\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ הוא **בסיס אורתונורמלי** של $V$ (וקטורים מ-$W$ אורתוגונליים ל-$v_1$ עקב $W = V_\lambda^\perp$, ואורתוגונליים זה לזה עקב הנחת האינדוקציה), כאשר כל הוקטורים הם וקטורים עצמיים של $T$. $\blacksquare$