שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2024 - מטריצות

א. (13 נק') נתונות המטריצות $A, B \in M_3(\mathbb{R})$ הבאות: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & \lambda & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & \lambda \\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix}$$ מצאו עבור אלו ערכי $\lambda \in \mathbb{R}$ המטריצות $A$ ו- $B$ שקולות שורה. ב. (12 נק') יהיו $U, V \subseteq \mathbb{R}^4$ תת-מרחבים הבאים: $$V = \text{Sp}(\{(1, -1, 0, 0), (1, -2, 1, 0), (1, -3, 3, -1)\})$$ $$U = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + z = 0, \, y + t = 0\}$$ 1. מצאו בסיס וממד למרחב $U$. 2. הוכיחו ש- $U \subseteq V$.

רמז: בחלק א, חשב את הדרגה של כל מטריצה (בפרמטר $\lambda$) ומצא עבור אילו ערכים הדרגות שוות, ואז בדוק שה-RREF זהה. בחלק ב סעיף 2, מספיק להראות שכל אחד מוקטורי הבסיס של $U$ שייך ל-$V$.

פתרון: ## חלק א **צמצום שורות של $A$:** $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & \lambda & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1,\, R_3-R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3+(\lambda-2)R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ לכן $\text{rank}(A) = 2$ **לכל** $\lambda \in \mathbb{R}$. **צמצום שורות של $B$:** $$B = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & \lambda \\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1,\, R_3-3R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 0 & 1 & 2-2\lambda \\ 0 & 1 & 3-3\lambda \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3-R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 0 & 1 & 2-2\lambda \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}$$ - אם $\lambda \neq 1$: $\text{rank}(B) = 3$ - אם $\lambda = 1$: $\text{rank}(B) = 2$ **תנאי שקילות שורות:** שתי מטריצות שקולות שורה אם ורק אם יש להן אותה **צורה מדורגת קנונית (RREF)**. הדרושה $\text{rank}(A)=\text{rank}(B)=2$, לכן בודקים $\lambda=1$: עבור $\lambda=1$, ה-RREF של $A$: $R_2 \to -R_2$, $R_1 \to R_1-2R_2$ נותן $\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$. עבור $\lambda=1$, ה-RREF של $B$: מהצורה הנ"ל, $R_1\to R_1-R_2$ נותן $\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$. ה-RREF זהה, לכן $A$ ו-$B$ שקולות שורה **אם ורק אם $\lambda=1$**. --- ## חלק ב ### סעיף 1 — בסיס וממד של $U$ $$U = \{(x,y,z,t) \mid x+z=0,\; y+t=0\} \implies z=-x,\; t=-y$$ המשתנים החופשיים הם $x,y$, ולכן: $$(x,y,z,t) = x(1,0,-1,0) + y(0,1,0,-1)$$ הוקטורים $(1,0,-1,0)$ ו-$(0,1,0,-1)$ בלתי תלויים לינארית (ברור מצורתם). לכן: $$\text{בסיס של } U = \{(1,0,-1,0),\;(0,1,0,-1)\}, \qquad \dim(U)=2$$ ### סעיף 2 — הוכחה ש-$U \subseteq V$ מספיק להראות שכל **וקטור מהבסיס של $U$ שייך ל-$V$** (כי $V$ תת-מרחב). **וקטור ראשון: $(1,0,-1,0) \in V$?** נחפש $a,b,c$ כך ש-$a(1,-1,0,0)+b(1,-2,1,0)+c(1,-3,3,-1)=(1,0,-1,0)$: $$a+b+c=1,\quad -a-2b-3c=0,\quad b+3c=-1,\quad -c=0$$ מהמשוואה הרביעית: $c=0$, מהשלישית: $b=-1$, מהראשונה: $a=2$. בדיקה: $-2+2+0=0$ ✓ $$\boxed{(1,0,-1,0)=2(1,-1,0,0)-(1,-2,1,0)\in V}$$ **וקטור שני: $(0,1,0,-1) \in V$?** נחפש $a,b,c$: $a+b+c=0,\; -a-2b-3c=1,\; b+3c=0,\; -c=-1$ מהמשוואה הרביעית: $c=1$, מהשלישית: $b=-3$, מהראשונה: $a=2$. בדיקה: $-2+6-3=1$ ✓ $$\boxed{(0,1,0,-1)=2(1,-1,0,0)-3(1,-2,1,0)+(1,-3,3,-1)\in V}$$ מכיוון שכל וקטור בבסיס $U$ שייך ל-$V$, וכל וקטור ב-$U$ הוא **צירוף לינארי** של וקטורי הבסיס, ומכיוון ש-$V$ **סגור** לצירופים לינאריים, מתקבל $U \subseteq V$. $\blacksquare$