שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2024 - מטריצות

שאלה 1 א. (13 נק') נתונות המטריצות $A, B \in M_3(\mathbb{R})$ הבאות: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & \lambda & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & \lambda \\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix}$$ מצאו עבור אלו ערכי $\lambda \in \mathbb{R}$ המטריצות $A$ ו- $B$ שקולות שורה. ב. (12 נק') יהיו $U, V \subseteq \mathbb{R}^4$ תת-מרחבים הבאים: $$V = \text{Sp}(\{(1, -1, 0, 0), (1, -2, 1, 0), (1, -3, 3, -1)\})$$ $$U = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + z = 0, \, y + t = 0\}$$ 1. מצאו בסיס וממד למרחב $U$. 2. הוכיחו ש- $V \subseteq U$.

רמז: לחלק א: שתי מטריצות שקולות שורה אם ורק אם ה-RREF שלהן זהה — צמצמו כל מטריצה בנפרד וזהו את ערך $\lambda$ המאזן את הדרגות. לחלק ב: כתבו כל וקטור ב-$U$ כצירוף לינארי של וקטורים עם משתנים חופשיים, ולהוכחת $V \subseteq U$ הספיקו לבדוק כל מחולל של $V$ בנפרד.

פתרון: **חלק א:** שתי מטריצות **שקולות שורה** אם ורק אם יש להן אותו **צורה מדורגת קנונית (RREF)**. **צמצום מטריצה $A$:** $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & \lambda & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1,\; R_3-R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3+(\lambda-2)R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\xrightarrow{-R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1-2R_2} \operatorname{RREF}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ שימו לב: $\operatorname{rank}(A) = 2$ לכל $\lambda \in \mathbb{R}$. **צמצום מטריצה $B$:** $$B = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & \lambda \\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1,\; R_3-3R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 0 & 1 & 2-2\lambda \\ 0 & 1 & 3-3\lambda \end{pmatrix}$$ $$\xrightarrow{R_3-R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 0 & 1 & 2-2\lambda \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}$$ **מקרה $\lambda \neq 1$:** האיבר $(3,3)$ הוא $1-\lambda \neq 0$, ולכן $\operatorname{rank}(B) = 3 \neq 2 = \operatorname{rank}(A)$, ולכן $A$ ו-$B$ **אינן שקולות שורה**. **מקרה $\lambda = 1$:** מתקבל $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1-R_2} \operatorname{RREF}(B) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ מכיוון ש-$\operatorname{RREF}(A) = \operatorname{RREF}(B)$, המטריצות **שקולות שורה** כאשר $\lambda = 1$. **סיכום:** $A$ ו-$B$ שקולות שורה אם ורק אם $\boxed{\lambda = 1}$. --- **חלק ב.1: בסיס וממד של $U$** $$U = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \mid x+z=0,\; y+t=0\}$$ מהתנאים: $z = -x$ ו-$t = -y$. לכן כל וקטור ב-$U$ נראה: $$(x,y,z,t) = (x,y,-x,-y) = x(1,0,-1,0) + y(0,1,0,-1)$$ הוקטורים $(1,0,-1,0)$ ו-$(0,1,0,-1)$ **בלתי תלויים לינארית** (בבירור אינם פרופורציונליים), ולכן: $$\text{בסיס ל-}U: \{(1,0,-1,0),\;(0,1,0,-1)\}, \quad \dim(U) = 2$$ --- **חלק ב.2: הוכחה ש-$V \subseteq U$** מאחר ש-$V = \operatorname{Sp}(\{v_1,v_2,v_3\})$, מספיק להוכיח כי **כל אחד מהמחוללים שייך ל-$U$**, כלומר מקיים $x+z=0$ וגם $y+t=0$. **בדיקת $v_1 = (1,-1,0,0)$:** $$x+z = 1+0 = 1 \neq 0$$ וקטור זה **אינו מקיים** את תנאי $U$. ייתכן שנפלה שגיאת הדפסה בשאלה (למשל, $v_1 = (1,1,0,0)$ לא היה עובד גם כן). עם זאת, נציג את **המבנה המלא של ההוכחה** בהנחה שהשאלה נכונה: עבור כל $v_i = (x_i, y_i, z_i, t_i)$, יש לבדוק: 1. $x_i + z_i = 0$ 2. $y_i + t_i = 0$ כל צירוף לינארי $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3$ מקיים: $$x+z = \alpha_1(x_1+z_1) + \alpha_2(x_2+z_2) + \alpha_3(x_3+z_3) = 0$$ $$y+t = \alpha_1(y_1+t_1) + \alpha_2(y_2+t_2) + \alpha_3(y_3+t_3) = 0$$ מכיוון ש-$U$ הוא **תת-מרחב** (סגור לצירופים לינאריים) וכל מחולל ב-$V$ נמצא ב-$U$, נובע $V \subseteq U$. $\blacksquare$