שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2021 - מכפלה פנימית

יהי $V = \mathbb{R}_3[x] = \{a + bx + cx^2 : a,b,c \in \mathbb{R}\}$ ו-$U = \text{span}\{1, x\}$ תת-מרחב של $V$. מצאו מכפלה סקלרית $\langle \cdot, \cdot \rangle$ במרחב $V$ כך שההיטל האורתוגונלי של $1 + x + x^2$ על $U$ שווה ל- $x + 1$. נמקו!

רמז: ההיטל הוא $x+1$ אם ורק אם $1+x+x^2 - (x+1) = x^2$ ניצב ל-$U$. חפשו מכפלה פנימית שעבורה $\langle x^2, 1 \rangle = 0$ ו-$\langle x^2, x \rangle = 0$.

פתרון: ההיטל האורתוגונלי של $f = 1 + x + x^2$ על $U$ הוא $\text{proj}_U(f) = x + 1$ אם ורק אם $f - \text{proj}_U(f) = x^2 \perp U$, כלומר: $$\langle x^2, 1 \rangle = 0 \quad \text{ו-} \quad \langle x^2, x \rangle = 0.$$ נגדיר מכפלה פנימית על $V$ באמצעות מטריצת גראם ביחס לבסיס $\{1, x, x^2\}$. צריך שהמטריצה תהיה סימטרית וחיובית מוגדרת. נבחר: $$G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ כלומר המכפלה הפנימית הסטנדרטית: $\langle a_1 + b_1 x + c_1 x^2, a_2 + b_2 x + c_2 x^2 \rangle = a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2$. **בדיקה:** - $\langle x^2, 1 \rangle = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$. ✓ - $\langle x^2, x \rangle = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$. ✓ לכן $x^2 \perp U$ ביחס למכפלה פנימית זו, ולכן ההיטל של $1 + x + x^2$ על $U$ הוא $(1+x+x^2) - x^2 = 1 + x$. ✓ המכפלה הפנימית: $\langle p, q \rangle = a_p a_q + b_p b_q + c_p c_q$ עבור $p = a_p + b_p x + c_p x^2$, $q = a_q + b_q x + c_q x^2$. $\blacksquare$