שאלת מבחן באלגברה לינארית 2

יהי

V

מרחב מכפלה פנימית ממשי ויהי

W

תת-מרחב של

V

. הוכיחו שלכל

v \in V

קיים פירוק יחיד

v = w + u

כאשר

w \in W

ו-

u \in W^{⊥}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה שנוצרה על-ידי AI בסגנון אוניברסיטת תל אביב

★★★★★

הוכחהמרחב מכפלה פנימית

השתמשו בהטלה האורthוגונלית על

W

. הוכיחו קיום ויחידות בנפרד.

הוכחה:

נוכיח קיום ויחידות של הפירוק.

חלק א': הוכחת הקיום

יהי

v \in V

. נגדיר:
-

w = proj_{W} (v)

- ההטלה האורthוגונלית של

v

על

W

u = v - w

**צריך להראות ש-

u \in W^{⊥}

:**

יהי

w^{'} \in W

כלשהו. לפי תכונת ההטלה האורthוגונלית:

⟨ v - proj_{W} (v), w^{'} ⟩ = 0

כלומר:

⟨ u, w^{'} ⟩ = ⟨ v - w, w^{'} ⟩ = 0

מכיוון שזה נכון לכל

w^{'} \in W

, נובע ש-

u \in W^{⊥}

.

אימות הפירוק:

v = w + u = proj_{W} (v) + (v - proj_{W} (v)) = v ✓

חלק ב': הוכחת היחידות

נניח שיש שני פירוקים:
-

v = w_{1} + u_{1}

כאשר

w_{1} \in W, u_{1} \in W^{⊥}

v = w_{2} + u_{2}

כאשר

w_{2} \in W, u_{2} \in W^{⊥}

חיסור הפירוקים:

0 = v - v = (w_{1} + u_{1}) - (w_{2} + u_{2}) = (w_{1} - w_{2}) + (u_{1} - u_{2})

לכן:

w_{1} - w_{2} = - (u_{1} - u_{2}) ...(1)

ניתוח החברים:
-

w_{1} - w_{2} \in W

(כי

W

תת-מרחב)
-

u_{1} - u_{2} \in W^{⊥}

(כי

W^{⊥}

תת-מרחב)
- מ-(1):

w_{1} - w_{2} \in W^{⊥}

מסקנה:

w_{1} - w_{2} \in W \cap W^{⊥} = {0}

לכן

w_{1} = w_{2}

ובהתאם

u_{1} = u_{2}

.

הערה: השוויון

W \cap W^{⊥} = {0}

נובע מכך שאם

w \in W \cap W^{⊥}

אז

⟨ w, w ⟩ = 0

, ולכן

w = 0

.

מסקנה סופית: הפירוק

v = w + u

עם

w \in W, u \in W^{⊥}

קיים ויחיד.

■

שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - הוכחה