שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2018 - אופרטור צמוד

תהי $T : \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^3$ טרנספורמציה לינארית. נסמן $M = \sqrt{\max\{a_1, a_2, a_3\}}$. האם לכל וקטור יחידה $v \in \mathbb{C}^3$ מתקיים $\|T(v)\| \leq M$?

רמז: פרקו את $v$ בבסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים של $T^*T$ והשתמשו ב-$\|T(v)\|^2 = \langle T^*T(v), v \rangle$.

פתרון: $T^*T$ צמודה לעצמה ולכן ניתנת לכיסון אורתוגונלי. קיים בסיס אורתונורמלי $B = \{v_1, v_2, v_3\}$ של $\mathbb{C}^3$ המורכב מוקטורים עצמיים של $T^*T$ עם ערכים עצמיים $a_1, a_2, a_3$ (בהתאמה). יהי $v \in \mathbb{C}^3$ וקטור יחידה. אז $v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3$ ומתקיים: $$\|T(v)\|^2 = \langle T(v), T(v) \rangle = \langle T^*T(v), v \rangle$$ $$= \langle a_1\alpha_1 v_1 + a_2\alpha_2 v_2 + a_3\alpha_3 v_3,\, \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 \rangle$$ $$= a_1|\alpha_1|^2\|v_1\|^2 + a_2|\alpha_2|^2\|v_2\|^2 + a_3|\alpha_3|^2\|v_3\|^2$$ $$= \sum_{i=1}^{3} a_i|\alpha_i|^2 \leq M^2 \sum_{i=1}^{3} |\alpha_i|^2 = M^2$$ ולכן $\|T(v)\| \leq M$.