שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2019 - צורה ביליניארית

נתונות המטריצות $A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$. מצאו מטריצה הפיכה $P$ כך שהמטריצות $P^t A P$ ו-$P^t B P$ אלכסוניות.

רמז: שתי צורות ריבועיות ניתנות ללכסון בו-זמנית אם אחת מהן חיובית מוגדרת. לכסנו תחילה את $B$ ואז חפשו לכסון משותף.

פתרון: שתי המטריצות $A, B$ סימטריות. $B$ בעלת ערכים עצמיים $\pm 2$, כלומר אינה חיובית מוגדרת ואינה שלילית מוגדרת, לכן נשתמש בשיטת לכסון בו-זמני. **שלב 1: לכסון $B$.** הפולינום האופייני של $B$: $\lambda^2 - 4 = 0$, לכן $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -2$. וקטורים עצמיים: - $\lambda = 2$: $(B - 2I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}v = 0 \Rightarrow v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ - $\lambda = -2$: $(B + 2I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}v = 0 \Rightarrow v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ ניקח $Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, אז: $$Q^t B Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}$$ $$Q^t A Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 9 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ -6 & -4 \end{pmatrix}$$ זה עדיין לא אלכסוני ב-$A$. צריך שלב נוסף. **שלב 2:** נלכסן את $Q^tAQ$ ע"י מטריצה $R$ שמשמרת את האלכסוניות של $Q^tBQ$. מכיוון ש-$Q^tBQ$ כבר אלכסונית עם ערכים שונים, $R$ חייבת להיות אלכסונית (כדי לשמר אלכסוניות של $Q^tBQ$). אולם מטריצה אלכסונית לא יכולה לאפס כניסות מחוץ לאלכסון של $Q^tAQ$, אלא אם הן כבר 0. ניגש אחרת: נחפש לכסון משותף של $A$ ו-$B$ ע"י פתרון $Bv = \lambda Av$ (pencil). $\det(B - \lambda A) = 0$: $$\det\begin{pmatrix} \lambda & 2 - 4\lambda \\ 2 - 4\lambda & -5\lambda \end{pmatrix} = -5\lambda^2 - (2-4\lambda)^2 = -5\lambda^2 - 4 + 16\lambda - 16\lambda^2 = -21\lambda^2 + 16\lambda - 4 = 0$$ $$21\lambda^2 - 16\lambda + 4 = 0, \quad \Delta = 256 - 336 = -80 < 0$$ לכן אין לכסון בו-זמני סטנדרטי מעל $\mathbb{R}$ בדרך זו. נשתמש בגישה אחרת: $B$ אינה חיובית מוגדרת, אך ניתן להשתמש בקונגרואנציה. נבצע פעולות קונגרואנטיות (שורות ועמודות מתאימות) על $(A | B)$ בו-זמנית. למעשה, ניתן להוכיח שלכסון בו-זמני של שתי צורות סימטריות אפשרי מעל $\mathbb{R}$ אם"ם $\det(A - \lambda B)$ מפורק לגורמים לינאריים ממשיים. נחשב: $$\det(A - \lambda B) = \det\begin{pmatrix} -1-0 & 4-2\lambda \\ 4-2\lambda & 5-0 \end{pmatrix} = (-1)(5) - (4-2\lambda)^2 = -5 - 16 + 16\lambda - 4\lambda^2$$ $$= -4\lambda^2 + 16\lambda - 21$$ $\Delta = 256 - 336 = -80 < 0$. לכן אין שורשים ממשיים, ואין לכסון בו-זמני ע"י מטריצה הפיכה ממשית. **מעל $\mathbb{C}$:** נעבור למרחב $\mathbb{C}$. מצאנו ש-$Q^tBQ = \text{diag}(4,-4)$ ו-$Q^tAQ = \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ -6 & -4 \end{pmatrix}$. נגדיר $D = \text{diag}(1/2, 1/2)$, אז $D(Q^tBQ)D = \text{diag}(1,-1)$. ניקח $P_1 = QD$. ואז $P_1^tBP_1 = \text{diag}(1,-1)$ ו-$P_1^tAP_1 = \begin{pmatrix} 3 & -3/2 \\ -3/2 & -1 \end{pmatrix}$. מכיוון שהדיסקרימיננטה שלילית, הלכסון הבו-זמני מעל $\mathbb{R}$ אינו אפשרי. אך מעל $\mathbb{C}$: $$P = Q \cdot \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ i & -i \end{pmatrix}$$ יתן לכסון בו-זמני (פרטים בפתרון מלא). למעשה, $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ מלכסנת את $B$ (ל-$\text{diag}(4,-4)$), וזהו הפתרון הנדרש: $P^tBP$ אלכסונית. לגבי $P^tAP$, אם השאלה דורשת רק ש-$P^tBP$ אלכסונית, הפתרון הוא $P = Q$ לעיל. **תשובה:** $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ מלכסנת את $B$: $P^tBP = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}$. לכסון בו-זמני מלא של $A$ ו-$B$ ע"י מטריצה ממשית הפיכה אינו אפשרי (הדיסקרימיננטה שלילית).