שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - הוכחה

יהי $T: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ אופרטור הרמיטי. הוכיחו שכל הערכים העצמיים של $T$ הם ממשיים.

רמז: השתמשו בהגדרה של אופרטור הרמיטי: $\langle Tv, w \rangle = \langle v, Tw \rangle$ ובחרו $v = w$ להיות ווקטור עצמי.

פתרון: **הוכחה:** אופרטור $T$ נקרא הרמיטי אם $T = T^*$, כלומר $\langle Tv, w \rangle = \langle v, Tw \rangle$ לכל $v, w \in \mathbb{C}^n$. **יהי $\lambda$ ערך עצמי של $T$ ויהי $v \neq 0$ ווקטור עצמי תואם.** כלומר: $Tv = \lambda v$ **שלב 1:** חישוב $\langle Tv, v \rangle$ בשתי דרכים **דרך 1:** מכיוון ש-$Tv = \lambda v$: $$\langle Tv, v \rangle = \langle \lambda v, v \rangle = \lambda \langle v, v \rangle = \lambda \|v\|^2$$ **דרך 2:** מכיוון ש-$T$ הרמיטי: $$\langle Tv, v \rangle = \langle v, Tv \rangle = \langle v, \lambda v \rangle = \overline{\lambda} \langle v, v \rangle = \overline{\lambda} \|v\|^2$$ **שלב 2:** השוואה מהשוויון של שתי הדרכים: $$\lambda \|v\|^2 = \overline{\lambda} \|v\|^2$$ מכיוון ש-$v \neq 0$, נוכל לחלק ב-$\|v\|^2 > 0$: $$\lambda = \overline{\lambda}$$ **שלב 3:** מסקנה מספר מרוכב $\lambda$ מקיים $\lambda = \overline{\lambda}$ אם ורק אם $\lambda \in \mathbb{R}$. **הוכחה:** יהי $\lambda = a + bi$ כאשר $a, b \in \mathbb{R}$. אז $\overline{\lambda} = a - bi$. מ-$\lambda = \overline{\lambda}$ נקבל: $$a + bi = a - bi \Rightarrow 2bi = 0 \Rightarrow b = 0$$ לכן $\lambda = a \in \mathbb{R}$. **מסקנה סופית:** כל הערכים העצמיים של אופרטור הרמיטי הם ממשיים. $\blacksquare$