שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2020 - טורים

יהי $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ טור מתכנס בהחלט ותהי $(a_n)$ סדרה המקיימת $|a_{n+1} - a_n| \le |x_n|$ לכל $n$. הוכיחו כי הסדרה $(a_n)$ מתכנסת.

רמז: הטור $\sum(a_{n+1}-a_n)$ מתכנס בהחלט (ממבחן ההשוואה עם $\sum|x_n|$). קשרו זאת לכך שסכומי הטלסקופי $a_N - a_1$ מתכנסים.

פתרון: מכיוון ש-$|a_{n+1}-a_n|\le|x_n|$ ו-$\sum|x_n|<\infty$, ממבחן ההשוואה: $$\sum_{n=1}^\infty|a_{n+1}-a_n| \le \sum_{n=1}^\infty|x_n| < \infty.$$ לכן הטור $\sum_{n=1}^\infty(a_{n+1}-a_n)$ מתכנס בהחלט. אולם: $$\sum_{n=1}^N (a_{n+1}-a_n) = a_{N+1} - a_1.$$ מכיוון שהטור מתכנס, הסכומים החלקיים $a_{N+1}-a_1$ מתכנסים, כלומר $a_{N+1}$ מתכנסת. $\blacksquare$