שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2017 - צורה ביליניארית

נתונה תבנית בילינארית $f : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ על ידי $f(x, y) = 2x_1 y_1 + 3x_1 y_2 + 3x_2 y_1 + 5x_2 y_2$ לכל $x = (x_1, x_2)$, $y = (y_1, y_2)$ ב-$\mathbb{R}^2$. הוכיחו כי $f$ מהווה מכפלה פנימית ומצאו בסיס אורתונורמלי של $\left(\text{span}\{(1,0)\}\right)^\perp$ במרחב $\mathbb{R}^2$ ביחס ל-$f$.

רמז: מטריצת הייצוג של $f$ היא $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$. בדקו שהיא **חיובית מוגדרת** (סילבסטר). אחר כך מצאו את $(1,0)^\perp$ ביחס ל-$f$.

פתרון: מטריצת הייצוג של $f$: $$B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$$ **הוכחת מכפלה פנימית:** $f$ **בילינארית** — ברור מההגדרה (לינארית בכל רכיב). $f$ **סימטרית**: $B = B^T$ ✓. $f$ **חיובית מוגדרת** — לפי **מבחן סילבסטר**: - $b_{11} = 2 > 0$ ✓ - $\det(B) = 10 - 9 = 1 > 0$ ✓ לכן $f$ מהווה **מכפלה פנימית**. $\blacksquare$ **מציאת $\left(\text{span}\{(1,0)\}\right)^\perp$:** $(x_1, x_2) \in \left(\text{span}\{(1,0)\}\right)^\perp$ אם ורק אם $f((x_1,x_2),(1,0)) = 0$. $$f((x_1,x_2),(1,0)) = 2x_1 \cdot 1 + 3x_1 \cdot 0 + 3x_2 \cdot 1 + 5x_2 \cdot 0 = 2x_1 + 3x_2 = 0$$ לכן $x_1 = -\frac{3}{2}x_2$, ו-$\left(\text{span}\{(1,0)\}\right)^\perp = Sp\{(-3, 2)\}$. **נרמול:** צריך למצוא $\|(-3,2)\|_f$: $$f((-3,2),(-3,2)) = 2 \cdot 9 + 3 \cdot (-6) + 3 \cdot (-6) + 5 \cdot 4 = 18 - 18 - 18 + 20 = 2$$ $$\|(-3,2)\|_f = \sqrt{2}$$ בסיס אורתונורמלי של $\left(\text{span}\{(1,0)\}\right)^\perp$: $$\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(-3, 2)\right\} = \left\{\left(\frac{-3}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{2}}\right)\right\} = \left\{\left(\frac{-3\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}\right)\right\}$$