שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2023 - נגזרות חלקיות

נגדיר $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ על ידי $f(x,y,z) = xy^2z^3$ לכל $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$. הוכיחו כי קיימים ל-$f$ ערך מקסימום מוחלט וערך מינימום מוחלט בקבוצה $B = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\}$ ומצאו אותם.

רמז: השתמשו במשפט ויירשטראס (הקבוצה סגורה וחסומה) לקיום. בפנים הנקודה הקריטית היחידה נותנת $f=0$. על השפה השתמשו בכפלי לגרנז' עם $g = x^2+y^2+z^2-1$.

פתרון: **קיום:** $B$ היא קבוצה **סגורה וחסומה** (כדור יחידה סגור) ב-$\mathbb{R}^3$, ו-$f$ רציפה. לפי **משפט ויירשטראס**, $f$ מקבלת מקסימום ומינימום מוחלטים ב-$B$. **מציאת הערכים:** **פנים ($x^2+y^2+z^2 < 1$):** נחפש נקודות קריטיות: $\nabla f = (y^2z^3, 2xyz^3, 3xy^2z^2) = \mathbf{0}$. הפתרון היחיד הוא שלפחות שניים מבין $x,y,z$ מתאפסים, ואז $f = 0$. **שפה ($x^2+y^2+z^2 = 1$):** נשתמש ב**כפלי לגרנז'** עם $g = x^2+y^2+z^2-1$: $$y^2z^3 = 2\lambda x \quad (1)$$ $$2xyz^3 = 2\lambda y \quad (2)$$ $$3xy^2z^2 = 2\lambda z \quad (3)$$ **אם $y=0$ או $z=0$:** $f=0$. **אם $y \neq 0, z \neq 0$:** מ-(2) מחלקים ב-$y$: $2xz^3 = 2\lambda$, כלומר $\lambda = xz^3$. נציב ב-(1): $y^2z^3 = 2x^2z^3 \Rightarrow y^2 = 2x^2$ (כי $z \neq 0$). נציב ב-(3): $3xy^2z^2 = 2xz^4 \Rightarrow 3y^2 = 2z^2$ (כי $x \neq 0, z \neq 0$; אם $x=0$ אז $\lambda=0$ ומ-(1): $y^2z^3=0$, סתירה). מ-$y^2 = 2x^2$ ו-$z^2 = \frac{3}{2}y^2 = 3x^2$: $$x^2 + 2x^2 + 3x^2 = 6x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{6},\; y^2 = \frac{1}{3},\; z^2 = \frac{1}{2}$$ $$f = xy^2z^3 = x \cdot \frac{1}{3} \cdot z^3 = \frac{1}{3} x z^3 = \frac{1}{3} \cdot (\pm\frac{1}{\sqrt{6}}) \cdot (\pm\frac{1}{2\sqrt{2}}) = \pm\frac{1}{6\sqrt{12}} = \pm\frac{1}{12\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{36}$$ **ערך המקסימום המוחלט** הוא $\frac{\sqrt{3}}{36}$, **ערך המינימום המוחלט** הוא $-\frac{\sqrt{3}}{36}$.