קורס: אלגברה לינארית 2
אוניברסיטה: אוניברסיטת בר-אילן
שנה: 2021
סמסטר: ב
נושאים: אופרטור נורמלי, הוכחה, מרחב מכפלה פנימית, אופרטורים
רמת קושי: בינוני-קשה
יהי $V$ מרחב מכפלה פנימית מעל $\mathbb{C}$, ויהיו $T, S: V \to V$ אופרטורים **נורמליים** כך ש-$\operatorname{Im} T \perp \operatorname{Im} S$. הוכיחו ש-$S + T$ נורמלי.
רמז: הוכיחו תחילה ש-$S^*T = T^*S = 0$ מתוך $\operatorname{Im}T \perp \operatorname{Im}S$. לאחר מכן השתמשו בכך שנורמליות משמעה $\operatorname{Im}T = \operatorname{Im}T^*$, והסיקו ש-$TS = ST = ST^* = TS^* = 0$ גם כן.
פתרון: נסמן $(S+T)^* = S^* + T^*$ ונוכיח $(S+T)^*(S+T) = (S+T)(S+T)^*$.
**שלב 1 — גזירת תנאי האפסום:**
מ-$\operatorname{Im}T \perp \operatorname{Im}S$: לכל $v,w \in V$, $\langle Tv, Sw\rangle = 0$, כלומר:
$$\langle S^*Tv, w\rangle = 0 \quad \forall v,w \implies S^*T = 0$$
$$\langle T^*Sv, w\rangle = 0 \quad \forall v,w \implies T^*S = 0$$
**שלב 2 — נורמליות ותמונות של צמודים:**
מכיוון ש-$T$ נורמלי: $\|Tv\| = \|T^*v\|$ לכל $v$ (שכן $\langle T^*Tv,v\rangle = \langle TT^*v,v\rangle$), לכן $\ker T = \ker T^*$ ומכאן $\operatorname{Im}T^* = (\ker T)^\perp = \operatorname{Im}T$. באופן דומה $\operatorname{Im}S^* = \operatorname{Im}S$.
**שלב 3 — אפסומים נוספים:**
מ-$\operatorname{Im}T^* = \operatorname{Im}T \perp \operatorname{Im}S$: לכל $v,w$, $\langle T^*v, Sw\rangle = \langle TSw,v\rangle = 0$, ולכן $TS = 0$. באופן דומה, $\operatorname{Im}S^* = \operatorname{Im}S \perp \operatorname{Im}T$ נותן $ST = 0$.
מ-$\operatorname{Im}T^* \perp \operatorname{Im}S^*$: $\langle T^*v, S^*w\rangle = \langle ST^*v, w\rangle = 0$, ולכן $ST^* = 0$. באופן דומה $TS^* = 0$.
**שלב 4 — סיכום:**
$$(S+T)^*(S+T) = S^*S + \underbrace{S^*T}_{0} + \underbrace{T^*S}_{0} + T^*T = S^*S + T^*T$$
$$(S+T)(S+T)^* = SS^* + \underbrace{ST^*}_{0} + \underbrace{TS^*}_{0} + TT^* = SS^* + TT^*$$
מנורמליות $S$ ו-$T$: $S^*S = SS^*$ ו-$T^*T = TT^*$. לכן $(S+T)^*(S+T) = (S+T)(S+T)^*$, כלומר $S+T$ נורמלי. $\blacksquare$
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל C , ויהיו T , S : V → V אופרטורים נורמליים כך ש- Im T ⊥ Im S . הוכיחו ש- S + T נורמלי.
אוניברסיטת בר-אילן מבחן לדוגמה 2021 סמסטר ב
אופרטור נורמלי הוכחה מרחב מכפלה פנימית אופרטורים
הוכיחו תחילה ש- S ∗ T = T ∗ S = 0 מתוך Im T ⊥ Im S . לאחר מכן השתמשו בכך שנורמליות משמעה Im T = Im T ∗ , והסיקו ש- T S = S T = S T ∗ = T S ∗ = 0 גם כן.
נסמן ( S + T ) ∗ = S ∗ + T ∗ ונוכיח ( S + T ) ∗ ( S + T ) = ( S + T ) ( S + T ) ∗ . שלב 1 — גזירת תנאי האפסום: מ- Im T ⊥ Im S : לכל v , w ∈ V , ⟨ T v , S w ⟩ = 0 , כלומר: ⟨ S ∗ T v , w ⟩ = 0 ∀ v , w ⟹ S ∗ T = 0 ⟨ T ∗ S v , w ⟩ = 0 ∀ v , w ⟹ T ∗ S = 0 שלב 2 — נורמליות ותמונות של צמודים: מכיוון ש- T נורמלי: ∥ T v ∥ = ∥ T ∗ v ∥ לכל v (שכן ⟨ T ∗ T v , v ⟩ = ⟨ T T ∗ v , v ⟩ ), לכן ker T = ker T ∗ ומכאן Im T ∗ = ( ker T ) ⊥ = Im T . באופן דומה Im S ∗ = Im S . שלב 3 — אפסומים נוספים: מ- Im T ∗ = Im T ⊥ Im S : לכל v , w , ⟨ T ∗ v , S w ⟩ = ⟨ T S w , v ⟩ = 0 , ולכן T S = 0 . באופן דומה, Im S ∗ = Im S ⊥ Im T נותן S T = 0 . מ- Im T ∗ ⊥ Im S ∗ : ⟨ T ∗ v , S ∗ w ⟩ = ⟨ S T ∗ v , w ⟩ = 0 , ולכן S T ∗ = 0 . באופן דומה T S ∗ = 0 . שלב 4 — סיכום: ( S + T ) ∗ ( S + T ) = S ∗ S + 0 S ∗ T + 0 T ∗ S + T ∗ T = S ∗ S + T ∗ T ( S + T ) ( S + T ) ∗ = S S ∗ + 0 S T ∗ + 0 T S ∗ + T T ∗ = S S ∗ + T T ∗ מנורמליות S ו- T : S ∗ S = S S ∗ ו- T ∗ T = T T ∗ . לכן ( S + T ) ∗ ( S + T ) = ( S + T ) ( S + T ) ∗ , כלומר S + T נורמלי. ■