שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2024 - מקלורן

היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים על מנת למצוא את כל הערכים $a, b, c, d$ עבורם: $$\lim_{x \to 0} \frac{a(e^x - 1)(1 - \cos x) + b + cx + dx^2}{\tan x - x} = 1$$

רמז: פתחו את המונה והמכנה לפי מקלורן סביב $x=0$. המכנה $\tan x - x \sim \frac{x^3}{3}$, לכן על המונה להיות $O(x^3)$ — השתמשו בזה כדי לקבוע תנאים על $b, c, d, a$.

פתרון: נפתח לפי מקלורן: $$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots, \quad 1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \cdots$$ $$\Rightarrow (e^x-1)(1-\cos x) = \left(x + \frac{x^2}{2} + \cdots\right)\left(\frac{x^2}{2} + \cdots\right) = \frac{x^3}{2} + O(x^4)$$ $$\tan x - x = \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$$ מונה: $a\left(\frac{x^3}{2} + O(x^4)\right) + b + cx + dx^2$ כדי שהגבול יהיה **סופי** (שווה 1), על המונה להיות $O(x^3)$ כאשר $x \to 0$: - **מקדם קבוע:** $b = 0$ - **מקדם $x$:** $c = 0$ - **מקדם $x^2$:** $d = 0$ עם $b = c = d = 0$, המונה $= \frac{a}{2} x^3 + O(x^4)$. $$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{a}{2}x^3 + O(x^4)}{\frac{1}{3}x^3 + O(x^5)} = \frac{a/2}{1/3} = \frac{3a}{2} = 1 \Rightarrow a = \frac{2}{3}$$ **תשובה:** $a = \dfrac{2}{3}$, $b = c = d = 0$.